2.2.3 Exercícios

  1. Calcule o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
    (a) e^{2 t}, \quad e^{-3 t / 2}. Resp: -\frac{7}{2} e^{t / 2}.
    (b) \cos t, sen t. Resp: 1 .
    (c) e^{-2 t}, t e^{-2 t} \cdot \operatorname{Resp}: e^{-4 t}.
    (d) e^{t} \operatorname{sen} t, e^{t} \cos t. Resp: -e^{2 t}.
    (e) \cos ^{2} \theta, \quad 1+\cos 2 \theta. Resp: 0 .
  2. Verifique que y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t^{-1} são duas soluções da equação diferencial t^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0 para t>0. Então mostre que y(t)=c_{1} t^{2}+c_{2} t^{-1} é também uma solução desta equação para quaisquer c_{1} e c_{2}.
  3. Mostre que y(x)=c_{1} sen x+c_{2} \cos x é uma solução geral de y^{\prime \prime}+y=0 em algum intervalo . A seguir, ache a solução do PVI para o qual y(0)=2 e y^{\prime}(0)=3. Resp: y=3 \operatorname{sen} x+2 \cos x.
  4. Verifique que y_{1}=1 e y_{2}=x^{1 / 2} são soluções de y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0, para x>0. Mostrar então que c_{1}+c_{2} x^{1 / 2} não é em geral solução desta equação. Por que não? Isso contradiz o teorema da existência e unicidade de soluções para equações lineares de segunda ordem? Resp: A equação não é linear.
  5. Se o wronskiano W de f e g é 3 e^{4 x} e f(x)=e^{2 x}, ache g(x). Resp: 3 x e^{2 x}+c e^{2 x}.
  6. Se o wronskiano W de f e g é x^{2} e^{x} e f(x)=x, ache g(x). Resp: x e^{x}+c x.
  7. Se W(f, g) é o wronskiano de f e g e se u=2 f-g e v=f+2 g, ache o wronskiano W(u, v) de u e v em termos do wronkiano W(f, g) de f e g. Resp: 5 W(f, g).
  8. Se W(f, g)=x \cos x-\operatorname{sen} x, e se u=f+3 g e v=f-g, ache o wronskiano W(u, v) de u e v. Resp: -4(x \cos x-\operatorname{sen} x).
  9. Em cada uma das alíneas abaixo, verifique que as funções dadas y_{1} e y_{2} são soluções da equação diferencial. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?
    (a) y^{\prime \prime}+4 y=0, y_{1}(x)=\cos 2 x, y_{2}(x)=\operatorname{sen} 2 x. Resp: Sim.
    (b) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, y_{1}(x)=e^{x}, y_{2}(x)=x e^{x}. Resp: Sim.
    (c) x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=0, \quad x>0, y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x e^{x}. Resp: Sim.
  10. O wronkiano de duas funções é W(x)=x \operatorname{sen}^{2} x. As duas funções são linearmente dependentes ou independentes? Justifique.
Resp: São linearmente independentes porque o wronkiano não se anula em todo ponto.
11. Ache o wronskiano das duas soluções da equação diferencial dada sem resolvê-la.
(a) x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=0 . \operatorname{Resp}: c x^{2} e^{x}.
(b) x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-4\right) y=0. Resp: c / x
12. Mostre que se p(x) é diferenciável e p(x)>0, então o wronskiano de duas soluções de \left[p(x) y^{\prime}\right]^{\prime}+q(x) y=0 é W(x)=c / p(x), onde c é uma constante.
13. Se y_{1} e y_{2} são duas soluções linearmente independentes de x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+x e^{x} y=0 e se W\left(y_{1}, y_{2}\right)(1)=2, ache o valor de W\left(y_{1}, y_{2}\right)(5). Resp: 2 / 25
14. Se y_{1} e y_{2} são duas soluções linearmente independentes de x^{2} y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+(3+x) y=0 e se W\left(y_{1}, y_{2}\right)(2)=3, ache o valor de W\left(y_{1}, y_{2}\right)(4). Resp: 3 \sqrt{e}.
  1. Calcule o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
    (a) e^{2 t}, \quad e^{-3 t / 2}. Resp: -\frac{7}{2} e^{t / 2}.
    (b) \cos t, sen t. Resp: 1 .
    (c) e^{-2 t}, t e^{-2 t} \cdot \operatorname{Resp}: e^{-4 t}.
    (d) e^{t} \operatorname{sen} t, e^{t} \cos t. Resp: -e^{2 t}.
    (e) \cos ^{2} \theta, \quad 1+\cos 2 \theta. Resp: 0 .
  2. Verifique que y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t^{-1} são duas soluções da equação diferencial t^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0 para t>0. Então mostre que y(t)=c_{1} t^{2}+c_{2} t^{-1} é também uma solução desta equação para quaisquer c_{1} e c_{2}.
  3. Mostre que y(x)=c_{1} sen x+c_{2} \cos x é uma solução geral de y^{\prime \prime}+y=0 em algum intervalo . A seguir, ache a solução do PVI para o qual y(0)=2 e y^{\prime}(0)=3. Resp: y=3 \operatorname{sen} x+2 \cos x.
  4. Verifique que y_{1}=1 e y_{2}=x^{1 / 2} são soluções de y y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0, para x>0. Mostrar então que c_{1}+c_{2} x^{1 / 2} não é em geral solução desta equação. Por que não? Isso contradiz o teorema da existência e unicidade de soluções para equações lineares de segunda ordem? Resp: A equação não é linear.
  5. Se o wronskiano W de f e g é 3 e^{4 x} e f(x)=e^{2 x}, ache g(x). Resp: 3 x e^{2 x}+c e^{2 x}.
  6. Se o wronskiano W de f e g é x^{2} e^{x} e f(x)=x, ache g(x). Resp: x e^{x}+c x.
  7. Se W(f, g) é o wronskiano de f e g e se u=2 f-g e v=f+2 g, ache o wronskiano W(u, v) de u e v em termos do wronkiano W(f, g) de f e g. Resp: 5 W(f, g).
  8. Se W(f, g)=x \cos x-\operatorname{sen} x, e se u=f+3 g e v=f-g, ache o wronskiano W(u, v) de u e v. Resp: -4(x \cos x-\operatorname{sen} x).
  9. Em cada uma das alíneas abaixo, verifique que as funções dadas y_{1} e y_{2} são soluções da equação diferencial. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?
    (a) y^{\prime \prime}+4 y=0, y_{1}(x)=\cos 2 x, y_{2}(x)=\operatorname{sen} 2 x. Resp: Sim.
    (b) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, y_{1}(x)=e^{x}, y_{2}(x)=x e^{x}. Resp: Sim.
    (c) x^{2} y^{\prime \prime}-x(x+2) y^{\prime}+(x+2) y=0, \quad x>0, y_{1}(x)=x, y_{2}(x)=x e^{x}. Resp: Sim.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano das pares de funções usando a definição
W(y_1,y_2)(t) =\begin{vmatrix} y_1(t) & y_2(t)\\[6pt] y_1'(t)&y_2'(t) \end{vmatrix} = y_1(t)\,y_2'(t)-y_2(t)\,y_1'(t).
Vamos aplicar isso a cada par.]

Passo 2

Para y_1(t)=e^{2t} e y_2(t)=e^{-3t/2} temos
y_1'(t)=2e^{2t},\quad y_2'(t)=-\tfrac32e^{-3t/2}.
Logo
W(e^{2t},e^{-3t/2}) =e^{2t}\Bigl(-\tfrac32e^{-3t/2}\Bigr) -e^{-3t/2}\bigl(2e^{2t}\bigr) =-\tfrac32e^{2t-3t/2}-2e^{2t-3t/2} =-\tfrac{7}{2}e^{t/2}.

Passo 3

Para y_1(t)=\cos t e y_2(t)=\sin t temos
y_1'(t)=-\sin t,\quad y_2'(t)=\cos t,
então
W(\cos t,\sin t) =\cos t\cdot\cos t-\sin t\cdot(-\sin t) =\cos^2t+\sin^2t =1.

Passo 4

Para y_1(t)=e^{-2t} e y_2(t)=t\,e^{-2t} temos
y_1'(t)=-2e^{-2t},\quad y_2'(t)=e^{-2t}+t(-2e^{-2t})=(1-2t)e^{-2t}.
Então
W(e^{-2t},\,t e^{-2t}) =e^{-2t}\cdot(1-2t)e^{-2t}-t e^{-2t}\cdot(-2e^{-2t}) =(1-2t)e^{-4t}+2t\,e^{-4t} =e^{-4t}.

Passo 5

Para y_1(t)=e^{t}\sin t e y_2(t)=e^{t}\cos t calculamos
y_1'(t)=e^t\sin t+e^t\cos t=e^t(\sin t+\cos t),
y_2'(t)=e^t\cos t-e^t\sin t=e^t(\cos t-\sin t).
Logo
W(e^t\sin t,e^t\cos t) =e^t\sin t\cdot e^t(\cos t-\sin t) -e^t\cos t\cdot e^t(\sin t+\cos t) =e^{2t}\bigl(\sin t\cos t-\sin^2t-\sin t\cos t-\cos^2t\bigr) =-e^{2t}(\sin^2t+\cos^2t) =-e^{2t}.

Passo 6

Para y_1(\theta)=\cos^2\theta e y_2(\theta)=1+\cos2\theta, note que
1+\cos2\theta=2\cos^2\theta,
logo as duas funções são múltiplos uma da outra e são linearmente dependentes. O Wronskiano de funções dependentes é zero:
W(\cos^2\theta,\,1+\cos2\theta)=0.

Resposta

(a) -\tfrac{7}{2}e^{t/2}
(b) 1
(c) e^{-4t}
(d) -e^{2t}
(e) 0

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