Exercícios Complementares 3.6
Represente as seguintes funções em séries de potências de x :
f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a série de potências (em torno de x=0) para
f(x)=\ln\bigl(1+x^2\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a série de Maclaurin para \ln(1+u), válida para |u|<1.

Passo 2

A série conhecida é
\ln(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{u^n}{n},
com raio de convergência |u|<1.

Passo 3

Basta tomar u=x^2. Substituindo na série acima, obtemos
\ln\bigl(1+x^2\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{(x^2)^n}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{x^{2n}}{n},
válida para |x^2|<1, isto é, |x|<1.

Resposta

\ln\bigl(1+x^2\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{x^{2n}}{n} =x^2-\tfrac{x^4}{2}+\tfrac{x^6}{3}-\tfrac{x^8}{4}+\cdots,\quad |x|<1.

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