Exercícios Complementares 3.6
Represente as seguintes funções em séries de potências de x :
f(x)=\ln \left(1+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para representar a função
f(x)=\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)
como série de potências centrada em 0. O conteúdo aqui é a expansão de Maclaurin de \ln(1+u) e depois faremos a substituição u=x^{2}.

Passo 2

Lembramos que, para \lvert u\rvert<1, vale a série bem‐conhecida
\ln(1+u)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{u^{n}}{n}
Essa fórmula vem de integrar a série de (1+u)^{-1}.

Passo 3

Agora basta tomar u=x^{2}. Como \lvert x^{2}\rvert<1 equivale a \lvert x\rvert<1, obtemos
\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{\bigl(x^{2}\bigr)^{n}}{n} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{x^{2n}}{n}.

Resposta

\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\,\frac{x^{2n}}{n}, \quad\text{válida para }\lvert x\rvert<1.á

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