Exercícios Complementares 3.6
Represente as seguintes funções em séries de potências de x :
f(x)=e^{4-x}

Passo 1

O enunciado pede representar f(x)=e^{4-x} em série de potências de x. A estratégia é usar a expansão de Taylor centrada em zero (série de Maclaurin) da função exponencial.

Passo 2

Para qualquer variável u, a série de Maclaurin de e^u é
e^u \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^n}{n!}\,.

Passo 3

No nosso caso, separamos
f(x)=e^{4-x}=e^{4}\,\bigl(e^{-x}\bigr),
onde e^4 é só um fator constante e resta expandir e^{-x}.

Passo 4

Aplicando a série de e^u com u=-x, temos
e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\,x^n.

Passo 5

Multiplicando termo a termo por e^4, obtemos
f(x)=e^4\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\,x^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,e^4}{n!}\,x^n.

Passo 6

A série de e^u converge para todo u\in\mathbb{R}, logo o raio de convergência é infinito e a expansão vale para qualquer x.

Resposta

A representação em série de potências de x de f(x)=e^{4-x} é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\,e^4}{n!}\,x^n,
com raio de convergência R=\infty.

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