Exercícios Complementares 3.6
Represente as seguintes funções em séries de potências de x :
f(x)=3^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=3^{x+1}
como série de potências em x. O conteúdo aqui é usar a expansão em série da função exponencial, já que podemos relacionar 3^{x+1} a uma exponencial.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=3^{x+1}=3\cdot3^{x}.
Isso mostra que basta desenvolver 3^{x} em série de potências.

Passo 3

Observamos que
3^{x}=e^{x\ln3}.
Logo, vamos usar a série de Taylor de e^{u} em torno de u=0.

Passo 4

A série de e^{u} é
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}.
Fazendo u=x\ln3, obtemos
3^{x}=e^{x\ln3}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln3)^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln3)^{n}}{n!}\,x^{n}.
Multiplicando por 3, concluímos a série de f(x).

Resposta

f(x)=3^{x+1} =\sum_{n=0}^{\infty}3\,\frac{(\ln3)^{n}}{n!}\,x^{n}.

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