Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
|\overrightarrow{\mathrm{u}}| \mathrm{e} \overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}
Determine:
|\overrightarrow{\mathrm{u}}| \mathrm{e} \overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}
Passo 1
O enunciado dá os vetores e pede duas coisas. Dados relevantes:
As perguntas que vamos responder são:
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicadinha): para um vetor em
com componentes
, a norma (comprimento) é dada por
Aqui
são as componentes do vetor ao longo dos eixos
. A razão desta fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado em 3 dimensões: soma dos quadrados das projeções.
Passo 3
Identificar as componentes de
. Do dado:
ou seja
,
,
. Agora aplicamos a fórmula da norma:
Passo 4
Calcular as potências e a soma passo a passo:
Somando:
Então
Bom resultado: a norma de
é
.
Passo 5
Definição de vetor unitário (o que é
): dado um vetor não-nulo
, o vetor unitário na mesma direção é obtido dividindo cada componente pela norma:
Isso garante que
. Em termos de componentes, se
e
, então
.
Passo 6
Aplicar a divisão das componentes de
pela norma que encontramos (
):
Escrevendo na forma com os vetores base:
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): checar que o vetor unitário tem norma
.
Confere certinho — ótimo, está tudo consistente.