Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
|\overrightarrow{\mathrm{u}}| \mathrm{e} \overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede duas coisas. Dados relevantes:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}}, \qquad \overrightarrow{\mathrm{v}}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}}, \qquad \overrightarrow{\mathrm{w}}=3\overrightarrow{\mathrm{i}}+6\overrightarrow{\mathrm{j}}.
As perguntas que vamos responder são:
\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\| \quad\text{e}\quad \overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicadinha): para um vetor em \mathbb{R}^3 com componentes (x,y,z), a norma (comprimento) é dada por
\|\,(x,y,z)\,\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Aqui x,y,z são as componentes do vetor ao longo dos eixos \overrightarrow{\mathrm{i}},\overrightarrow{\mathrm{j}},\overrightarrow{\mathrm{k}}. A razão desta fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado em 3 dimensões: soma dos quadrados das projeções.

Passo 3

Identificar as componentes de \overrightarrow{\mathrm{u}}. Do dado:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(2,\,-1,\,2),
ou seja x=2, y=-1, z=2. Agora aplicamos a fórmula da norma:
\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}.

Passo 4

Calcular as potências e a soma passo a passo:
2^{2}=4,\qquad (-1)^{2}=1,\qquad 2^{2}=4.
Somando:
4+1+4=9.
Então
\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=\sqrt{9}=3.
Bom resultado: a norma de \overrightarrow{\mathrm{u}} é 3.

Passo 5

Definição de vetor unitário (o que é \overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}): dado um vetor não-nulo \overrightarrow{\mathrm{u}}, o vetor unitário na mesma direção é obtido dividindo cada componente pela norma:
\overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{u}}}{\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|}.
Isso garante que \|\overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}\|=1. Em termos de componentes, se \overrightarrow{\mathrm{u}}=(x,y,z) e \|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=r, então \overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}=(x/r,\;y/r,\;z/r).

Passo 6

Aplicar a divisão das componentes de \overrightarrow{\mathrm{u}} pela norma que encontramos ( 3):
\overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}=\frac{1}{3}(2,\,-1,\,2)=\left(\frac{2}{3},\,-\frac{1}{3},\,\frac{2}{3}\right).
Escrevendo na forma com os vetores base:
\overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}=\frac{2}{3}\,\overrightarrow{\mathrm{i}}-\frac{1}{3}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+\frac{2}{3}\,\overrightarrow{\mathrm{k}}.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): checar que o vetor unitário tem norma 1.
\left\|\overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}\right\|=\sqrt{\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{4+1+4}{9}}=\sqrt{\frac{9}{9}}=1.
Confere certinho — ótimo, está tudo consistente.

Resposta

\|\overrightarrow{\mathrm{u}}\|=3
\overrightarrow{\mathrm{u}}^{\circ}=\dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{\mathrm{i}}-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{\mathrm{j}}+\dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{\mathrm{k}}

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