Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
A projeção de \vec{u}\ na direção de \vec{v}.
Determine:
A projeção de \vec{u}\ na direção de \vec{v}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores e pede a projeção de um sobre a direção do outro. Informações fornecidas:
Pergunta: Determinar a projeção de
na direção de
(ou seja, a projeção vetorial de
sobre
).
Passo 2
Explicar o conceito e a fórmula que vamos usar. A projeção vetorial de
sobre
é o vetor paralelo a
que representa a componente de
na direção de
. A fórmula é
Vou explicar cada parte:
-
é o produto escalar entre e . Ele mede quanto “aponta” na direção de . -
é o quadrado da norma de (ou seja, ). Dividindo pelo quadrado da norma obtemos o fator escalar que, ao multiplicar , gera um vetor com a magnitude correta na direção de .
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Regra: se
e
, então
Aqui temos
,
,
e
,
,
. Então
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular
, que é a soma dos quadrados das componentes de
:
Compute:
portanto
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da projeção. Já temos
e
. Então o fator escalar é
. Assim
Substituindo
, obtemos
Passo 6
Distribuir o escalar e simplificar frações componente a componente:
Observe que
, então podemos escrever a componente em
simplificada: