Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
A projeção de \vec{u}\ na direção de \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores e pede a projeção de um sobre a direção do outro. Informações fornecidas:
\overrightarrow{\mathrm{u}}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}}, \qquad \overrightarrow{\mathrm{v}}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}}.
Pergunta: Determinar a projeção de \overrightarrow{\mathrm{u}} na direção de \overrightarrow{\mathrm{v}} (ou seja, a projeção vetorial de \overrightarrow{\mathrm{u}} sobre \overrightarrow{\mathrm{v}}).

Passo 2

Explicar o conceito e a fórmula que vamos usar. A projeção vetorial de \overrightarrow{\mathrm{u}} sobre \overrightarrow{\mathrm{v}} é o vetor paralelo a \overrightarrow{\mathrm{v}} que representa a componente de \overrightarrow{\mathrm{u}} na direção de \overrightarrow{\mathrm{v}}. A fórmula é
\operatorname{proj}_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}\overrightarrow{\mathrm{u}} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}}{\overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}}\,\overrightarrow{\mathrm{v}}.
Vou explicar cada parte:
  • \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}} é o produto escalar entre \overrightarrow{\mathrm{u}} e \overrightarrow{\mathrm{v}}. Ele mede quanto \overrightarrow{\mathrm{u}} “aponta” na direção de \overrightarrow{\mathrm{v}}.
  • \overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}} é o quadrado da norma de \overrightarrow{\mathrm{v}} (ou seja, \|\overrightarrow{\mathrm{v}}\|^2). Dividindo pelo quadrado da norma obtemos o fator escalar que, ao multiplicar \overrightarrow{\mathrm{v}}, gera um vetor com a magnitude correta na direção de \overrightarrow{\mathrm{v}}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}. Regra: se \overrightarrow{\mathrm{u}}=(u_x,u_y,u_z) e \overrightarrow{\mathrm{v}}=(v_x,v_y,v_z), então
\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z.
Aqui temos u_x=2, u_y=-1, u_z=2 e v_x=5, v_y=5, v_z=-2. Então
\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}} =2\cdot5 + (-1)\cdot5 + 2\cdot(-2).
Calcule passo a passo:
2\cdot5=10,\qquad (-1)\cdot5=-5,\qquad 2\cdot(-2)=-4.
Somando:
\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=10-5-4=1.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}, que é a soma dos quadrados das componentes de \overrightarrow{\mathrm{v}}:
\overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=5^2+5^2+(-2)^2.
Compute:
5^2=25,\qquad 5^2=25,\qquad (-2)^2=4,
portanto
\overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=25+25+4=54.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da projeção. Já temos \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=1 e \overrightarrow{\mathrm{v}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{v}}=54. Então o fator escalar é \dfrac{1}{54}. Assim
\operatorname{proj}_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}\overrightarrow{\mathrm{u}} = \frac{1}{54}\,\overrightarrow{\mathrm{v}}.
Substituindo \overrightarrow{\mathrm{v}}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}}, obtemos
\operatorname{proj}_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}\overrightarrow{\mathrm{u}} = \frac{1}{54}\big(5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}}\big).

Passo 6

Distribuir o escalar e simplificar frações componente a componente:
\operatorname{proj}_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}\overrightarrow{\mathrm{u}} = \frac{5}{54}\overrightarrow{\mathrm{i}}+\frac{5}{54}\overrightarrow{\mathrm{j}}-\frac{2}{54}\overrightarrow{\mathrm{k}}.
Observe que \dfrac{2}{54}=\dfrac{1}{27}, então podemos escrever a componente em \overrightarrow{\mathrm{k}} simplificada:
\operatorname{proj}_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}\overrightarrow{\mathrm{u}} = \frac{5}{54}\overrightarrow{\mathrm{i}}+\frac{5}{54}\overrightarrow{\mathrm{j}}-\frac{1}{27}\overrightarrow{\mathrm{k}}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{proj}_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}\overrightarrow{\mathrm{u}}=\frac{5}{54}\overrightarrow{\mathrm{i}}+\frac{5}{54}\overrightarrow{\mathrm{j}}-\frac{1}{27}\overrightarrow{\mathrm{k}}

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