Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
Um vetor não nulo ortogonal a \overrightarrow{\mathrm{v}}.
Determine:
Um vetor não nulo ortogonal a \overrightarrow{\mathrm{v}}.
Passo 1
O enunciado pede: "Um vetor não nulo ortogonal a
".
As informações relevantes fornecidas são os vetores (peguei do enunciado):
As informações relevantes fornecidas são os vetores (peguei do enunciado):
A única coisa que precisamos realmente usar aqui é
. O objetivo é encontrar um vetor não nulo que seja ortogonal (perpendicular) a esse
.
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar (como numa aula rápida e prática): dois vetores são ortogonais se o produto escalar (ou “dot product”) entre eles for zero.
Se tivermos dois vetores em componentes
Se tivermos dois vetores em componentes
o produto escalar é definido por
Então a condição de ortogonalidade é
Aqui, os componentes de
são
,
e
nas direções
respectivamente.
Passo 3
Vamos procurar um vetor genérico
com
reais, que satisfaça a condição de ortogonalidade
. Escrevendo o produto escalar:
Essa é uma equação linear em
. Note que há infinitas soluções (uma equação para três incógnitas), então podemos escolher valores convenientes para duas variáveis e achar a terceira.
Passo 4
Escolho valores simples para facilitar as contas: tomo
e
. Substituo na equação
Calculando:
Passo 5
Portanto um vetor que encontramos é
Verificação rápida do produto escalar com
:
logo são ortogonais. E
é não nulo (tem componentes diferentes de zero), portanto serve como resposta. (Se quiser, existe uma família infinita de soluções; por exemplo, da equação
obtemos
.)