Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
Um vetor não nulo ortogonal a \overrightarrow{\mathrm{v}}.

Passo 1

O enunciado pede: "Um vetor não nulo ortogonal a \overrightarrow{v}".
As informações relevantes fornecidas são os vetores (peguei do enunciado):
\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k},
\overrightarrow{v}=5\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k},
\overrightarrow{w}=3\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}.
A única coisa que precisamos realmente usar aqui é \overrightarrow{v}=5\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}. O objetivo é encontrar um vetor não nulo que seja ortogonal (perpendicular) a esse \overrightarrow{v}.

Passo 2

Explicando o conceito que vamos usar (como numa aula rápida e prática): dois vetores são ortogonais se o produto escalar (ou “dot product”) entre eles for zero.
Se tivermos dois vetores em componentes
\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\quad\text{e}\quad \overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3),
o produto escalar é definido por
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Então a condição de ortogonalidade é
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0.
Aqui, os componentes de \overrightarrow{v} são 5, 5 e -2 nas direções \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k} respectivamente.

Passo 3

Vamos procurar um vetor genérico
\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k},
com x,y,z reais, que satisfaça a condição de ortogonalidade \overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{v}=0. Escrevendo o produto escalar:
\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{v}=5x+5y-2z=0.
Essa é uma equação linear em x,y,z. Note que há infinitas soluções (uma equação para três incógnitas), então podemos escolher valores convenientes para duas variáveis e achar a terceira.

Passo 4

Escolho valores simples para facilitar as contas: tomo x=1 e y=-1. Substituo na equação
5\cdot 1 + 5\cdot(-1) - 2z = 0.
Calculando:
5 - 5 - 2z = 0 \quad\Rightarrow\quad -2z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 0.

Passo 5

Portanto um vetor que encontramos é
\overrightarrow{r}=1\overrightarrow{i}-1\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}.
Verificação rápida do produto escalar com \overrightarrow{v}:
\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{r}=5\cdot 1 + 5\cdot(-1) + (-2)\cdot 0 = 5-5+0=0,
logo são ortogonais. E \overrightarrow{r} é não nulo (tem componentes diferentes de zero), portanto serve como resposta. (Se quiser, existe uma família infinita de soluções; por exemplo, da equação 5x+5y-2z=0 obtemos z=\dfrac{5}{2}(x+y).)

Resposta

\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}

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