Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
A projeção de \vec{u}\ na direção de \vec{w}.
Determine:
A projeção de \vec{u}\ na direção de \vec{w}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a projeção de
na direção de
.
Dados fornecidos pelo enunciado:
Dados fornecidos pelo enunciado:
Observação importante: eu peguei esses vetores direto do enunciado; reparei que
não tem componente em
, logo podemos tratá‑lo como
.
Passo 2
O que é projeto de um vetor sobre a direção de outro? Existem duas formas que aparecem com frequência:
- componente escalar (projeção escalar):
. É um número (positivo, negativo ou zero) que mede quanto de está ao longo da direção de . - projeção vetorial (projeção de
na direção de ):
Aqui o enunciado pede "projeção de
na direção de
", que normalmente significa a projeção vetorial
. Na fórmula acima:
-
é o produto escalar entre e ; -
é o quadrado do comprimento de (ou seja, ); - o resultado é um vetor paralelo a
.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Dados em componentes:
e
. O produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes:
Agora calculamos cada termo:
Somando:
Interpretação: o produto escalar zero significa que
é ortogonal (perpendicular) a
; portanto não há componente de
ao longo de
.
Passo 4
Calcular
(vai entrar no denominador da fórmula). Usando
:
Passo 5
Aplicar a fórmula da projeção vetorial:
Substituindo os valores que encontramos:
Conclusão geométrica: como
é perpendicular a
, a projeção de
na direção de
é o vetor nulo.