Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores \\overrightarrow{\mathrm{u}}=2 \overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2 \overrightarrow{\mathrm{k}}\ , \overrightarrow{\mathrm{v}}=5 \overrightarrow{\mathrm{i}}+5 \overrightarrow{\mathrm{j}}-2 \mathrm{k}\ e \overrightarrow{\mathrm{w}}=3 \overrightarrow{\mathrm{i}}+6 \overrightarrow{\mathrm{j}}\.
Determine:
A projeção de \vec{u}\ na direção de \vec{w}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a projeção de \vec{u} na direção de \vec{w}.
Dados fornecidos pelo enunciado:
\vec{u}=2\overrightarrow{\mathrm{i}}-\overrightarrow{\mathrm{j}}+2\overrightarrow{\mathrm{k}},
\vec{v}=5\overrightarrow{\mathrm{i}}+5\overrightarrow{\mathrm{j}}-2\overrightarrow{\mathrm{k}},
\vec{w}=3\overrightarrow{\mathrm{i}}+6\overrightarrow{\mathrm{j}}.
Observação importante: eu peguei esses vetores direto do enunciado; reparei que \vec{w} não tem componente em \overrightarrow{\mathrm{k}}, logo podemos tratá‑lo como \vec{w}=(3,6,0).

Passo 2

O que é projeto de um vetor sobre a direção de outro? Existem duas formas que aparecem com frequência:
  • componente escalar (projeção escalar): \displaystyle \text{comp}_{\vec{w}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{|\vec{w}|}. É um número (positivo, negativo ou zero) que mede quanto de \vec{u} está ao longo da direção de \vec{w}.
  • projeção vetorial (projeção de \vec{u} na direção de \vec{w}): \displaystyle \operatorname{proj}_{\vec{w}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{|\vec{w}|^{2}}\;\vec{w}.
Aqui o enunciado pede "projeção de \vec{u} na direção de \vec{w}", que normalmente significa a projeção vetorial \operatorname{proj}_{\vec{w}}(\vec{u}). Na fórmula acima:
  • \vec{u}\cdot\vec{w} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{w};
  • |\vec{w}|^{2} é o quadrado do comprimento de \vec{w} (ou seja, |\vec{w}|^{2}=\vec{w}\cdot\vec{w});
  • o resultado é um vetor paralelo a \vec{w}.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{w}. Dados em componentes:
\vec{u}=(2,-1,2) e \vec{w}=(3,6,0). O produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes:
\vec{u}\cdot\vec{w}=2\cdot 3 + (-1)\cdot 6 + 2\cdot 0.
Agora calculamos cada termo:
2\cdot 3 = 6,\quad (-1)\cdot 6 = -6,\quad 2\cdot 0 = 0.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{w}=6-6+0=0.
Interpretação: o produto escalar zero significa que \vec{u} é ortogonal (perpendicular) a \vec{w}; portanto não há componente de \vec{u} ao longo de \vec{w}.

Passo 4

Calcular |\vec{w}|^{2} (vai entrar no denominador da fórmula). Usando \vec{w}=(3,6,0):
|\vec{w}|^{2}=3^{2}+6^{2}+0^{2}=9+36+0=45.

Passo 5

Aplicar a fórmula da projeção vetorial:
\operatorname{proj}_{\vec{w}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{|\vec{w}|^{2}}\;\vec{w}.
Substituindo os valores que encontramos:
\operatorname{proj}_{\vec{w}}(\vec{u})=\frac{0}{45}\;\vec{w}=0\cdot\vec{w}=\vec{0}.
Conclusão geométrica: como \vec{u} é perpendicular a \vec{w}, a projeção de \vec{u} na direção de \vec{w} é o vetor nulo.

Resposta

\vec{0}

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