Exercícios-Derive
$y=\frac{\left(3^{x}+2 \pi+x^{-2} \cdot x\right) \operatorname{arctg}(x)}{\operatorname{arctg}(x)}$

Passo 1

O enunciado pede a derivada de

y = \frac{\bigl(3^{x} + 2\pi + x^{-2}\cdot x\bigr)\,\operatorname{arctg}(x)}{\operatorname{arctg}(x)}.

O conteúdo envolve simplificação de expressão antes de derivar e depois aplicação das regras de derivação de função exponencial, de potência e de constante.

Passo 2

Como

\operatorname{arctg}(x)\neq 0

(na região em que a expressão é válida), a razão pelo mesmo fator simplifica-se. Logo,

y = 3^{x} + 2\pi + x^{-2}\cdot x.

E como

x^{-2}\cdot x = x^{-1}

, fica

y = 3^{x} + 2\pi + x^{-1}.

Passo 3

Agora diferenciamos termo a termo:

A derivada de $3^{x}$ é $3^{x}\ln(3)$ .
A derivada de $2\pi$ (constante) é $0$ .
A derivada de $x^{-1}$ é $-1\cdot x^{-2} = -x^{-2}$ .

Passo 4

Somando os resultados, obtemos

y' = 3^{x}\ln(3) - x^{-2}.

Resposta

y' = 3^{x}\ln(3) - \frac{1}{x^{2}}.

Exercícios-Derive y=\frac{\left(3^{x}+2 \pi+x^{-2} \cdot x\right) \operatorname{arctg}(x)}{\operatorname{arctg}(x)}