Nos exercícios, determine os extremantes da função f.
f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos onde a função
f(x)=\sin\bigl(2x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)
atinge máximos e mínimos locais. Vamos usar derivada para achar os pontos críticos e depois aplicar o teste da segunda derivada para classificá-los.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=\sin(u) com u=2x-\tfrac{\pi}{4}, vale
f'(x)=\cos\bigl(2x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(2x-\tfrac{\pi}{4}\bigr) =2\cos\bigl(2x-\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 3

Os pontos críticos são dados por f'(x)=0, ou seja,
2\cos\bigl(2x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\bigl(2x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=0.
Isso ocorre quando
2x-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi, \quad k\in\mathbb{Z},
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2x=\tfrac{3\pi}{4}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{3\pi}{8}+\tfrac{k\pi}{2}.

Passo 4

Para classificar cada ponto, usamos a segunda derivada. Derivando f'(x)=2\cos(u) em relação a x:
f''(x)=-2\sin\bigl(2x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\cdot2 =-4\sin\bigl(2x-\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Em x=\tfrac{3\pi}{8}+\tfrac{k\pi}{2}, o argumento é
2x-\tfrac{\pi}{4} =\Bigl(\tfrac{\pi}{2}+k\pi\Bigr),
e \sin(\tfrac{\pi}{2}+k\pi)=(-1)^{k}. Portanto
f''\bigl(\tfrac{3\pi}{8}+\tfrac{k\pi}{2}\bigr) =-4(-1)^{k}.
Se k é par, f''<0 ⇒ máximo local; se k é ímpar, f''>0 ⇒ mínimo local.

Passo 5

Logo:
Máximos locais em
x=\tfrac{3\pi}{8}+n\pi,\quad n\in\mathbb{Z},
com f(x)=1.
Mínimos locais em
x=\tfrac{3\pi}{8}+\tfrac{\pi}{2}+n\pi =\tfrac{7\pi}{8}+n\pi,\quad n\in\mathbb{Z},
com f(x)=-1.

Resposta

Máximos locais:
x=\tfrac{3\pi}{8}+n\pi,\quad f(x)=1,\quad n\in\mathbb{Z}.
Mínimos locais:
x=\tfrac{7\pi}{8}+n\pi,\quad f(x)=-1,\quad n\in\mathbb{Z}.

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