Nos exercícios, determine os extremantes da função
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos de máximo e mínimo locais (extremantes) da função
Vamos usar o teste da primeira derivada: calcular
, achar onde ela se anula e estudar o sinal de
para classificar aumentos e quedas de
.
Passo 2
Para obter
aplicamos a regra do produto a
Temos
então
Fatorando
,
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
isto é
Passo 4
Estudamos o sinal de
em cada intervalo determinado por
. Note que
-
é sempre não-negativo (e muda de sinal em nenhum ponto). -
é negativo se e positivo se . -
é negativo para e positivo para .
Agora combinamos:
(–∞, 6): e
⇒
.
(6, 50/7): e
⇒
.
(50/7, 8): e
⇒
.
(8, ∞): idem ao intervalo anterior ⇒ .
(–∞, 6):
(6, 50/7):
(50/7, 8):
(8, ∞): idem ao intervalo anterior ⇒
Passo 5
Com base no teste da primeira derivada:
- Em
a derivada passa de positiva para negativa ⇒ sobe antes de 6 e desce depois ⇒ máximo local em . - Em
passa de negativa para positiva ⇒ mínimo local em . - Em
é nula mas não há troca de sinal ⇒ ponto de inflexão sem extremum.
Resposta
Local máximo:
com
Local mínimo:
com