Nos exercícios, determine os extremantes da função f.
f(x)=(x-8)^{3}(x-6)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de máximo e mínimo locais (extremantes) da função
f(x) = (x-8)^{3}\,(x-6)^{4}.
Vamos usar o teste da primeira derivada: calcular f'(x), achar onde ela se anula e estudar o sinal de f'(x) para classificar aumentos e quedas de f.

Passo 2

Para obter f'(x) aplicamos a regra do produto a
u(x) = (x-8)^{3}, \quad v(x) = (x-6)^{4}.
Temos
u'(x) = 3\,(x-8)^{2}, \quad v'(x) = 4\,(x-6)^{3},
então
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 3\,(x-8)^{2}\,(x-6)^{4} \;+\; 4\,(x-8)^{3}\,(x-6)^{3}.
Fatorando (x-8)^{2}(x-6)^{3},
f'(x) = (x-8)^{2}\,(x-6)^{3}\,\bigl[3\,(x-6) + 4\,(x-8)\bigr] = (x-8)^{2}\,(x-6)^{3}\,(7x - 50).

Passo 3

Os pontos críticos vêm de
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-8)^{2}=0,\;(x-6)^{3}=0\;\text{ou}\;7x-50=0,
isto é
x=8,\quad x=6,\quad x=\frac{50}{7}.

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado por 6<\tfrac{50}{7}<8. Note que
  • (x-8)^{2}\ge0 é sempre não-negativo (e muda de sinal em nenhum ponto).
  • (x-6)^{3} é negativo se x<6 e positivo se x>6.
  • 7x-50 é negativo para x<\tfrac{50}{7} e positivo para x>\tfrac{50}{7}.
Agora combinamos:
(–∞, 6): (x-6)^{3}<0 e 7x-50<0 f'(x)>0.
(6, 50/7): (x-6)^{3}>0 e 7x-50<0 f'(x)<0.
(50/7, 8): (x-6)^{3}>0 e 7x-50>0 f'(x)>0.
(8, ∞): idem ao intervalo anterior ⇒ f'(x)>0.

Passo 5

Com base no teste da primeira derivada:
  • Em x=6 a derivada passa de positiva para negativa ⇒ f sobe antes de 6 e desce depois ⇒ máximo local em x=6.
  • Em x=\tfrac{50}{7} passa de negativa para positiva ⇒ mínimo local em x=\tfrac{50}{7}.
  • Em x=8 f' é nula mas não há troca de sinal ⇒ ponto de inflexão sem extremum.

Resposta

Local máximo: x=6 com
f(6) = (6-8)^{3}\,(6-6)^{4} = 0.
Local mínimo: x=\dfrac{50}{7} com
f\!\bigl(\tfrac{50}{7}\bigr) = \bigl(-\tfrac{6}{7}\bigr)^{3}\,\bigl(\tfrac{8}{7}\bigr)^{4} = -\frac{884736}{823543}.

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