Nos Exercícios 5-8, determine a média, a mediana, a moda e o ponto médio de cada uma das duas amostras e compare os dois conjuntos de resultados.
Largura máxima de amostras de crânios egípcios do sexo masculino (com base em dados de Ancient Races of the Thebaid por Thomson e Randall-Maciver):
4000 aC: 131 \quad 119 \quad 138 \quad 125 \quad 129 \quad 126 \quad 131 \quad 132 \quad 126 \quad 128 \quad 128 \quad 131 150 dC: \begin{array}{llllllllll}136 & 130 & 126 & 126 & 139 & 141 & 137 & 138 & 133 & 131 \\\\ 134 & 129\end{array}

Passo 1

O enunciado pede que, para cada uma das duas amostras de largura máxima de crânios masculinos, eu determine: a média, a mediana, a moda e o ponto médio (midrange), e que eu compare os dois conjuntos de resultados.
As duas amostras dadas são (copiadas do enunciado):
Amostra 1 (4000 aC): 131,\;119,\;138,\;125,\;129,\;126,\;131,\;132,\;126,\;128,\;128,\;131.
Amostra 2 (150 dC): 136,\;130,\;126,\;126,\;139,\;141,\;137,\;138,\;133,\;131,\;134,\;129.
Vou calcular, passo a passo, cada medida para cada amostra e depois comparar os resultados. Não vou pular etapas: vou explicar as fórmulas, o que cada símbolo significa e mostrar as contas.

Passo 2

Definição e cálculo da média aritmética (explicação):
A média amostral é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Em símbolos:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores da amostra. Vou somar todos os valores e dividir por n=12 (cada amostra tem 12 observações).
Cálculo da média da Amostra 1: soma dos valores:
\begin{aligned} \text{soma}_1&=131+119+138+125+129+126+131+132+126+128+128+131\\\ &=1544. \end{aligned}
Como n=12,
\bar{x}_1=\frac{1544}{12}=128,\overline{6}\quad\text{(ou }128\frac{2}{3}\text{).}
Cálculo da média da Amostra 2: soma dos valores:
\begin{aligned} \text{soma}_2&=136+130+126+126+139+141+137+138+133+131+134+129\\\ &=1600. \end{aligned}
Como n=12,
\bar{x}_2=\frac{1600}{12}=133,\overline{3}\quad\text{(ou }133\frac{1}{3}\text{).}

Passo 3

Definição e cálculo da mediana (explicação):
A mediana é o valor que fica no meio da amostra quando os dados estão ordenados. Se n for ímpar, é o valor central; se n for par (como aqui, n=12), a mediana é a média dos dois valores centrais, isto é, a média dos valores nas posições n/2 e n/2+1.
Ordeno a Amostra 1 em ordem crescente:
119,\;125,\;126,\;126,\;128,\;128,\;129,\;131,\;131,\;131,\;132,\;138.
Os elementos centrais são o 6^\circ e o 7^\circ: 128 e 129. Logo,
\text{mediana}_1=\frac{128+129}{2}=\frac{257}{2}=128,5.
Ordeno a Amostra 2 em ordem crescente:
126,\;126,\;129,\;130,\;131,\;133,\;134,\;136,\;137,\;138,\;139,\;141.
Os elementos centrais são o 6^\circ e o 7^\circ: 133 e 134. Logo,
\text{mediana}_2=\frac{133+134}{2}=\frac{267}{2}=133,5.

Passo 4

Definição e cálculo da moda (explicação):
A moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra. Pode haver nenhuma moda (todos diferentes), uma moda (unimodal) ou mais de uma (multimodal). Vou contar frequências.
Frequências na Amostra 1 (contando os valores listados):
  • 119: 1 vez
  • 125: 1 vez
  • 126: 2 vezes
  • 128: 2 vezes
  • 129: 1 vez
  • 131: 3 vezes
  • 132: 1 vez
  • 138: 1 vez
O valor com maior frequência é 131 (3 ocorrências). Portanto,
\text{moda}_1=131.
Frequências na Amostra 2:
  • 126: 2 vezes
  • os demais valores ( 129,130,131,133,134,136,137,138,139,141) aparecem 1 vez cada.
O valor com maior frequência é 126 (2 ocorrências). Portanto,
\text{moda}_2=126.

Passo 5

Definição e cálculo do ponto médio (midrange) (explicação):
O ponto médio (midrange) é a média entre o menor e o maior valor da amostra:
\text{midrange}=\frac{\min(x)+\max(x)}{2}.
É uma medida de posição rápida que depende apenas dos extremos.
Para a Amostra 1: o menor valor é 119 e o maior é 138. Então
\text{midrange}_1=\frac{119+138}{2}=\frac{257}{2}=128,5.
Para a Amostra 2: o menor valor é 126 e o maior é 141. Então
\text{midrange}_2=\frac{126+141}{2}=\frac{267}{2}=133,5.

Passo 6

Resumo numérico das medidas calculadas (mostrando cada valor com explicação curta):
  • Amostra 1 (4000 aC):
    • Média: \bar{x}_1=128,\overline{6} (ou 128\frac{2}{3}).
    • Mediana: \text{mediana}_1=128,5.
    • Moda: \text{moda}_1=131.
    • Ponto médio (midrange): \text{midrange}_1=128,5.
  • Amostra 2 (150 dC):
    • Média: \bar{x}_2=133,\overline{3} (ou 133\frac{1}{3}).
    • Mediana: \text{mediana}_2=133,5.
    • Moda: \text{moda}_2=126.
    • Ponto médio (midrange): \text{midrange}_2=133,5.

Passo 7

Comparação e interpretação (didática e curta, sem pular etapas):
  • Observação principal: todos os indicadores de posição central (média e mediana) da Amostra 2 são maiores que os da Amostra 1. Em números, a média da Amostra 2 é cerca de 133,\overline{3}-128,\overline{6}=4,666\ldots unidades maior; a mediana é 133,5-128,5=5 unidades maior. Isso indica que, em média e no centro, as larguras máximas na amostra de 150 dC são maiores que na amostra de 4000 aC.
  • Moda: a Amostra 1 tem moda 131 (valor modal relativamente alto na amostra 1), enquanto a Amostra 2 tem moda 126 (o menor valor repete mais). Isso significa que o valor mais frequente difere entre as amostras; na Amostra 2 o mais frequente é um valor mais baixo, embora o restante dos valores da Amostra 2 esteja geralmente mais alto que os da Amostra 1 — isso mostra que a moda sozinha pode dar uma visão diferente das demais medidas e que é bom olhar várias medidas juntas.
  • Midrange x Mediana: curiosamente, para cada amostra o ponto médio calculado coincidiu com a mediana ( 128,5 para Amostra 1 e 133,5 para Amostra 2). Isso indica que, neste caso particular, os extremos e os valores centrais estão posicionados de forma que essas duas medidas deram o mesmo número; porém isso é uma coincidência dos dados e não é regra geral.
  • Sobre assimetria: como média e mediana são muito próximas em ambas as amostras, não há forte indicação de assimetria pronunciada; pequenas diferenças entre média e mediana (por exemplo, média ligeiramente maior que mediana na Amostra 1) sugerem apenas assimetrias leves, se houver.

Resposta

Amostra 1 (4000 aC): média \bar{x}_1=128,\overline{6}; mediana 128,5; moda 131; ponto médio 128,5.
Amostra 2 (150 dC): média \bar{x}_2=133,\overline{3}; mediana 133,5; moda 126; ponto médio 133,5.

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