Nos Exercícios 5-8, determine a média, a mediana, a moda e o ponto médio de cada uma das duas amostras e compare os dois conjuntos de resultados.
Largura máxima de amostras de crânios egípcios do sexo masculino (com base em dados de Ancient Races of the Thebaid por Thomson e Randall-Maciver):
4000 aC:
150 dC:
Largura máxima de amostras de crânios egípcios do sexo masculino (com base em dados de Ancient Races of the Thebaid por Thomson e Randall-Maciver):
Passo 1
O enunciado pede que, para cada uma das duas amostras de largura máxima de crânios masculinos, eu determine: a média, a mediana, a moda e o ponto médio (midrange), e que eu compare os dois conjuntos de resultados.
As duas amostras dadas são (copiadas do enunciado):
As duas amostras dadas são (copiadas do enunciado):
Amostra 1 (4000 aC):
.
Amostra 2 (150 dC):
.
Vou calcular, passo a passo, cada medida para cada amostra e depois comparar os resultados. Não vou pular etapas: vou explicar as fórmulas, o que cada símbolo significa e mostrar as contas.
Passo 2
Definição e cálculo da média aritmética (explicação):
A média amostral é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Em símbolos:
A média amostral é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Em símbolos:
onde
é a média,
é o número de observações e
são os valores da amostra. Vou somar todos os valores e dividir por
(cada amostra tem 12 observações).
Cálculo da média da Amostra 1: soma dos valores:
Como
,
Cálculo da média da Amostra 2: soma dos valores:
Como
,
Passo 3
Definição e cálculo da mediana (explicação):
A mediana é o valor que fica no meio da amostra quando os dados estão ordenados. Se for ímpar, é o valor central; se
for par (como aqui,
), a mediana é a média dos dois valores centrais, isto é, a média dos valores nas posições
e
.
A mediana é o valor que fica no meio da amostra quando os dados estão ordenados. Se
Ordeno a Amostra 1 em ordem crescente:
Os elementos centrais são o
e o
:
e
. Logo,
Ordeno a Amostra 2 em ordem crescente:
Os elementos centrais são o
e o
:
e
. Logo,
Passo 4
Definição e cálculo da moda (explicação):
A moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra. Pode haver nenhuma moda (todos diferentes), uma moda (unimodal) ou mais de uma (multimodal). Vou contar frequências.
A moda é o valor que ocorre com maior frequência na amostra. Pode haver nenhuma moda (todos diferentes), uma moda (unimodal) ou mais de uma (multimodal). Vou contar frequências.
Frequências na Amostra 1 (contando os valores listados):
-
: 1 vez -
: 1 vez -
: 2 vezes -
: 2 vezes -
: 1 vez -
: 3 vezes -
: 1 vez -
: 1 vez
O valor com maior frequência é
(3 ocorrências). Portanto,
Frequências na Amostra 2:
-
: 2 vezes - os demais valores (
) aparecem 1 vez cada.
O valor com maior frequência é
(2 ocorrências). Portanto,
Passo 5
Definição e cálculo do ponto médio (midrange) (explicação):
O ponto médio (midrange) é a média entre o menor e o maior valor da amostra:
O ponto médio (midrange) é a média entre o menor e o maior valor da amostra:
É uma medida de posição rápida que depende apenas dos extremos.
Para a Amostra 1: o menor valor é
e o maior é
. Então
Para a Amostra 2: o menor valor é
e o maior é
. Então
Passo 6
Resumo numérico das medidas calculadas (mostrando cada valor com explicação curta):
-
Amostra 1 (4000 aC):
- Média:
(ou ). - Mediana:
. - Moda:
. - Ponto médio (midrange):
.
- Média:
-
Amostra 2 (150 dC):
- Média:
(ou ). - Mediana:
. - Moda:
. - Ponto médio (midrange):
.
- Média:
Passo 7
Comparação e interpretação (didática e curta, sem pular etapas):
-
Observação principal: todos os indicadores de posição central (média e mediana) da Amostra 2 são maiores que os da Amostra 1. Em números, a média da Amostra 2 é cerca de
unidades maior; a mediana é unidades maior. Isso indica que, em média e no centro, as larguras máximas na amostra de dC são maiores que na amostra de aC. -
Moda: a Amostra 1 tem moda
(valor modal relativamente alto na amostra 1), enquanto a Amostra 2 tem moda (o menor valor repete mais). Isso significa que o valor mais frequente difere entre as amostras; na Amostra 2 o mais frequente é um valor mais baixo, embora o restante dos valores da Amostra 2 esteja geralmente mais alto que os da Amostra 1 — isso mostra que a moda sozinha pode dar uma visão diferente das demais medidas e que é bom olhar várias medidas juntas. -
Midrange x Mediana: curiosamente, para cada amostra o ponto médio calculado coincidiu com a mediana (
para Amostra 1 e para Amostra 2). Isso indica que, neste caso particular, os extremos e os valores centrais estão posicionados de forma que essas duas medidas deram o mesmo número; porém isso é uma coincidência dos dados e não é regra geral. -
Sobre assimetria: como média e mediana são muito próximas em ambas as amostras, não há forte indicação de assimetria pronunciada; pequenas diferenças entre média e mediana (por exemplo, média ligeiramente maior que mediana na Amostra 1) sugerem apenas assimetrias leves, se houver.
Resposta
Amostra 1 (4000 aC): média
; mediana
; moda
; ponto médio
.
Amostra 2 (150 dC): média
; mediana
; moda
; ponto médio
.