Nos Exercícios 5-8, determine a média, a mediana, a moda e o ponto médio de cada uma das duas amostras e compare os dois conjuntos de resultados.
Amostras das idades (em anos) de carros de alunos e carros de professores e funcionários da faculdade, obtidas na faculdade do autor:
Amostras das idades (em anos) de carros de alunos e carros de professores e funcionários da faculdade, obtidas na faculdade do autor:
Passo 1
O enunciado pede que, para cada uma das duas amostras de idades dos carros, eu determine: a média, a mediana, a moda e o ponto médio, e em seguida compare os resultados entre as duas amostras. As duas amostras fornecidas são (copiadas do enunciado):
Amostra dos alunos:
Amostra dos professores e funcionários:
Esses são todos os dados que temos. A partir deles tenho que calcular, para cada amostra:
- a média aritmética;
- a mediana;
- a(s) moda(s);
- o ponto médio (também chamado de midrange, definido como
).
Passo 2
Primeiro vou organizar (ordenar) a amostra dos alunos em ordem crescente — ordenar é necessário para achar a mediana e visualizar frequências para a moda. Ordenando a amostra dos alunos obtemos:
Aqui eu simplesmente reescrevi os valores do menor para o maior.
Passo 3
Agora calculo a média aritmética da amostra dos alunos.
Fórmula da média aritmética:
onde
é a média,
é o número de observações e
são os valores da amostra.
Para a amostra dos alunos temos
. Somo todos os valores (usei os valores já ordenados para facilitar a soma):
Logo a média é
(Na prova você pode deixar como fração
ou como decimal
se for pedido arredondamento.)
Passo 4
Calculo a mediana da amostra dos alunos.
Definição: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Se
é par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
Aqui
(par), então a mediana é a média do
e do
valores da lista ordenada. Da lista
o
valor é
e o
também é
. Portanto
Passo 5
Encontro a moda da amostra dos alunos.
Definição: moda é o(s) valor(es) que ocorre(m) com maior frequência na amostra.
Na lista ordenada vemos que o valor
aparece
vezes e o valor
aparece
vezes. Nenhum outro valor aparece mais vezes. Assim a amostra é bimodal, com duas modas:
Passo 6
Calculo o ponto médio (midrange) da amostra dos alunos.
Definição: ponto médio
, onde
e
são o menor e o maior valor da amostra.
Para os alunos
e
. Então
Passo 7
Agora organizo (ordeno) a amostra dos professores e funcionários em ordem crescente:
Novamente reescrevi os valores do menor para o maior para facilitar os próximos cálculos.
Passo 8
Calculo a média aritmética da amostra dos professores/funcionários.
Usando a fórmula
com
, somo os valores (usando a lista ordenada):
Logo
Passo 9
Calculo a mediana da amostra dos professores/funcionários.
Aqui
(par). A mediana é a média do
e do
valores da lista ordenada. Da lista
o
valor é
e o
é
. Assim
Passo 10
Encontro a moda da amostra dos professores/funcionários.
Observando a frequência na lista ordenada:
-
aparece vezes, -
aparece vezes, -
aparece vezes,
os demais aparecem menos vezes. Portanto a amostra é multimodal com três modas:
Passo 11
Calculo o ponto médio (midrange) da amostra dos professores/funcionários.
Aqui
e
. Então
Passo 12
Comparação e interpretação dos resultados (explicando o que cada medida revela e como outliers afetam):
-
Médias:A média dos alunos é ligeiramente maior que a dos professores. A média usa todos os valores, então é influenciada por todos os números.
-
Medianas:A mediana dos alunos é maior; isso indica que, olhando para o “meio” da distribuição, os carros dos alunos tendem a ser mais velhos que os dos professores/funcionários. A mediana é robusta a um único valor extremo.
-
Modas:Os professores/funcionários têm três valores com mesma maior frequência, mostrando mais variabilidade nas idades mais comuns; os alunos têm duas idades mais frequentes.
-
Pontos médios (midrange):Note que o ponto médio dos professores é bem maior que o dos alunos; isso ocorre porque o ponto médio depende só do menor e do maior valor. O valor máximo
na amostra dos professores (um possível outlier) puxa o ponto médio para cima. Assim, o ponto médio é muito sensível a extremos e pode dar uma impressão enganosa se houver outliers.
Resumo intuitivo: embora a média dos alunos seja ligeiramente maior, a mediana dos alunos é claramente maior, indicando que a maioria dos carros dos alunos é mais velha que a dos professores. O ponto médio maior para professores é consequência do valor máximo
na amostra deles, que é um extremo que não reflete a posição central da distribuição. A moda mostra que ambos os grupos têm valores com repetições, mas os professores apresentam mais modalidades.
Resposta
Alunos: média
;\ mediana
;\ moda
;\ ponto médio
.
Professores e funcionários: média
;\ mediana
;\ moda
;\ ponto médio
.