Nos Exercícios 5-8, determine a média, a mediana, a moda e o ponto médio de cada uma das duas amostras e compare os dois conjuntos de resultados.
Amostras das idades (em anos) de carros de alunos e carros de professores e funcionários da faculdade, obtidas na faculdade do autor:
\begin{array}{lrrrrrrrrrrrr} \text { Alunos: } & 10 & 4 & 5 & 2 & 9 & 7 & 8 & 8 & 16 & 4 & 13 & 12 \\\ \text { Professores e Funcionários: } & 7 & 10 & 4 & 13 & 23 & 2 & 7 & 6 & 6 & 3 & 9 & 4\end{array}á

Passo 1

O enunciado pede que, para cada uma das duas amostras de idades dos carros, eu determine: a média, a mediana, a moda e o ponto médio, e em seguida compare os resultados entre as duas amostras. As duas amostras fornecidas são (copiadas do enunciado):
Amostra dos alunos:
10,\;4,\;5,\;2,\;9,\;7,\;8,\;8,\;16,\;4,\;13,\;12
Amostra dos professores e funcionários:
7,\;10,\;4,\;13,\;23,\;2,\;7,\;6,\;6,\;3,\;9,\;4
Esses são todos os dados que temos. A partir deles tenho que calcular, para cada amostra:
  • a média aritmética;
  • a mediana;
  • a(s) moda(s);
  • o ponto médio (também chamado de midrange, definido como (\min+\max)/2).

Passo 2

Primeiro vou organizar (ordenar) a amostra dos alunos em ordem crescente — ordenar é necessário para achar a mediana e visualizar frequências para a moda. Ordenando a amostra dos alunos obtemos:
2,\;4,\;4,\;5,\;7,\;8,\;8,\;9,\;10,\;12,\;13,\;16
Aqui eu simplesmente reescrevi os valores do menor para o maior.

Passo 3

Agora calculo a média aritmética da amostra dos alunos.
Fórmula da média aritmética:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde \bar{x} é a média, n é o número de observações e x_i são os valores da amostra.
Para a amostra dos alunos temos n=12. Somo todos os valores (usei os valores já ordenados para facilitar a soma):
2+4+4+5+7+8+8+9+10+12+13+16=98.
Logo a média é
\bar{x}_{\text{alunos}}=\frac{98}{12}=\frac{49}{6}\approx 8,166\overline{6}.
(Na prova você pode deixar como fração \frac{49}{6} ou como decimal 8,1667 se for pedido arredondamento.)

Passo 4

Calculo a mediana da amostra dos alunos.
Definição: a mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Se n é par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
Aqui n=12 (par), então a mediana é a média do 6^\text{o} e do 7^\text{o} valores da lista ordenada. Da lista
2,\;4,\;4,\;5,\;7,\;8,\;8,\;9,\;10,\;12,\;13,\;16
o 6^\text{o} valor é 8 e o 7^\text{o} também é 8. Portanto
\text{mediana}_{\text{alunos}}=\frac{8+8}{2}=8.

Passo 5

Encontro a moda da amostra dos alunos.
Definição: moda é o(s) valor(es) que ocorre(m) com maior frequência na amostra.
Na lista ordenada vemos que o valor 4 aparece 2 vezes e o valor 8 aparece 2 vezes. Nenhum outro valor aparece mais vezes. Assim a amostra é bimodal, com duas modas:
\text{moda}_{\text{alunos}}=\{4,\;8\}.

Passo 6

Calculo o ponto médio (midrange) da amostra dos alunos.
Definição: ponto médio =\dfrac{\min + \max}{2}, onde \min e \max são o menor e o maior valor da amostra.
Para os alunos \min=2 e \max=16. Então
\text{ponto médio}_{\text{alunos}}=\frac{2+16}{2}=\frac{18}{2}=9.é

Passo 7

Agora organizo (ordeno) a amostra dos professores e funcionários em ordem crescente:
2,\;3,\;4,\;4,\;6,\;6,\;7,\;7,\;9,\;10,\;13,\;23
Novamente reescrevi os valores do menor para o maior para facilitar os próximos cálculos.

Passo 8

Calculo a média aritmética da amostra dos professores/funcionários.
Usando a fórmula \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i com n=12, somo os valores (usando a lista ordenada):
2+3+4+4+6+6+7+7+9+10+13+23=94.
Logo
\bar{x}_{\text{prof}}=\frac{94}{12}=\frac{47}{6}\approx 7,833\overline{3}.

Passo 9

Calculo a mediana da amostra dos professores/funcionários.
Aqui n=12 (par). A mediana é a média do 6^\text{o} e do 7^\text{o} valores da lista ordenada. Da lista
2,\;3,\;4,\;4,\;6,\;6,\;7,\;7,\;9,\;10,\;13,\;23
o 6^\text{o} valor é 6 e o 7^\text{o} é 7. Assim
\text{mediana}_{\text{prof}}=\frac{6+7}{2}=\frac{13}{2}=6,5.

Passo 10

Encontro a moda da amostra dos professores/funcionários.
Observando a frequência na lista ordenada:
  • 4 aparece 2 vezes,
  • 6 aparece 2 vezes,
  • 7 aparece 2 vezes,
    os demais aparecem menos vezes. Portanto a amostra é multimodal com três modas:
\text{moda}_{\text{prof}}=\{4,\;6,\;7\}.

Passo 11

Calculo o ponto médio (midrange) da amostra dos professores/funcionários.
Aqui \min=2 e \max=23. Então
\text{ponto médio}_{\text{prof}}=\frac{2+23}{2}=\frac{25}{2}=12,5.é

Passo 12

Comparação e interpretação dos resultados (explicando o que cada medida revela e como outliers afetam):
  • Médias:
    \bar{x}_{\text{alunos}}=\frac{49}{6}\approx 8,1667,\qquad \bar{x}_{\text{prof}}=\frac{47}{6}\approx 7,8333.
    A média dos alunos é ligeiramente maior que a dos professores. A média usa todos os valores, então é influenciada por todos os números.
  • Medianas:
    \text{mediana}_{\text{alunos}}=8,\qquad \text{mediana}_{\text{prof}}=6,5.
    A mediana dos alunos é maior; isso indica que, olhando para o “meio” da distribuição, os carros dos alunos tendem a ser mais velhos que os dos professores/funcionários. A mediana é robusta a um único valor extremo.
  • Modas:
    \text{moda}_{\text{alunos}}=\{4,\;8\},\qquad \text{moda}_{\text{prof}}=\{4,\;6,\;7\}.
    Os professores/funcionários têm três valores com mesma maior frequência, mostrando mais variabilidade nas idades mais comuns; os alunos têm duas idades mais frequentes.
  • Pontos médios (midrange):
    \text{ponto médio}_{\text{alunos}}=9,\qquad \text{ponto médio}_{\text{prof}}=12,5.éé
    Note que o ponto médio dos professores é bem maior que o dos alunos; isso ocorre porque o ponto médio depende só do menor e do maior valor. O valor máximo 23 na amostra dos professores (um possível outlier) puxa o ponto médio para cima. Assim, o ponto médio é muito sensível a extremos e pode dar uma impressão enganosa se houver outliers.
Resumo intuitivo: embora a média dos alunos seja ligeiramente maior, a mediana dos alunos é claramente maior, indicando que a maioria dos carros dos alunos é mais velha que a dos professores. O ponto médio maior para professores é consequência do valor máximo 23 na amostra deles, que é um extremo que não reflete a posição central da distribuição. A moda mostra que ambos os grupos têm valores com repetições, mas os professores apresentam mais modalidades.

Resposta

Alunos: média \frac{49}{6}\approx 8,1667;\ mediana 8;\ moda \{4,\;8\};\ ponto médio 9.
Professores e funcionários: média \frac{47}{6}\approx 7,8333;\ mediana 6,5;\ moda \{4,\;6,\;7\};\ ponto médio 12,5.

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