Nos Exercícios 5-8, determine a média, a mediana, a moda e o ponto médio de cada uma das duas amostras e compare os dois conjuntos de resultados.
Pesos (em libras) de papel e plástico descartado em residências durante uma semana (dados coletados para o Projeto do Lixo na Universidade do Arizona):
Papel: \begin{array}{lllllllll}9,55 & 6,38 & 2,80 & 6,98 & 6,33 & 6,16 & 10,00 & 12,29\end{array} Plástico: 2,19 \quad 2,10 \quad 1,41 \quad 0,63 \quad 0,92 \quad 1,40 \quad 1,74 \quad 2,87

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, para cada uma das duas amostras (papel e plástico), os seguintes estatísticos: a média, a mediana, a moda e o ponto médio. Em seguida devo comparar os resultados entre as duas amostras.
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
Papel: \;9,55,\;6,38,\;2,80,\;6,98,\;6,33,\;6,16,\;10,00,\;12,29
Plástico: \;2,19,\;2,10,\;1,41,\;0,63,\;0,92,\;1,40,\;1,74,\;2,87

Passo 2

Definição e cálculo da média (explicação didática).
  • A média aritmética de uma amostra é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Se temos n observações x_1,x_2,\dots,x_n, a média é \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i. Aqui x_i representa cada valor observado e n é o total de observações.
  • Vou calcular a média da amostra de papel. Primeiro somo todos os valores (faço as contas passo a passo):
\begin{aligned} \text{soma}_{\text{papel}} &= 9,55+6,38+2,80+6,98+6,33+6,16+10,00+12,29\\\ &= 60,49 \end{aligned}
  • Como n=8 para essa amostra, a média é
\bar{x}_{\text{papel}}=\frac{60,49}{8}=7,56125.
  • Para uso prático em prova, arredondo normalmente para duas casas: \bar{x}_{\text{papel}}\approx 7,56 libras.

Passo 3

Cálculo da média da amostra de plástico (mesma ideia).
  • Primeiro a soma:
\begin{aligned} \text{soma}_{\text{plástico}} &= 2,19+2,10+1,41+0,63+0,92+1,40+1,74+2,87\\\ &=13,26 \end{aligned}á
  • Com n=8,
\bar{x}_{\text{plástico}}=\frac{13,26}{8}=1,6575.á
  • Arredondando para duas casas: \bar{x}_{\text{plástico}}\approx 1,66á libras.

Passo 4

Definição e cálculo da mediana (explicação didática).
  • A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades de tamanhos iguais quando os dados estão ordenados. Se n é ímpar, a mediana é o elemento do meio; se n é par, a mediana é a média dos dois elementos do meio.
  • Para a amostra de papel ordeno os valores em ordem crescente (peguei esses números do Passo 1):
2,80,\;6,16,\;6,33,\;6,38,\;6,98,\;9,55,\;10,00,\;12,29
  • Como n=8 (par), a mediana é a média do 4.º e do 5.º valores:
\text{mediana}_{\text{papel}}=\frac{6,38+6,98}{2}=\frac{13,36}{2}=6,68.

Passo 5

Mediana da amostra de plástico.
  • Ordenando os valores (dados do Passo 1):
0,63,\;0,92,\;1,40,\;1,41,\;1,74,\;2,10,\;2,19,\;2,87
  • Novamente n=8, então a mediana é a média do 4.º e do 5.º valores:
\text{mediana}_{\text{plástico}}=\frac{1,41+1,74}{2}=\frac{3,15}{2}=1,575.á
  • Arredondando para duas casas: \text{mediana}_{\text{plástico}}\approx 1,58á.

Passo 6

Definição e identificação da moda (explicação didática).
  • A moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência na amostra. Pode não existir (se todos os valores aparecerem apenas uma vez) ou pode haver mais de uma moda (multimodal).
  • Para a amostra de papel, verificando os valores: 9,55,\;6,38,\;2,80,\;6,98,\;6,33,\;6,16,\;10,00,\;12,29 — todos aparecem uma única vez. Logo não há moda (amostra amodal).
  • Para a amostra de plástico, verificando: 2,19,\;2,10,\;1,41,\;0,63,\;0,92,\;1,40,\;1,74,\;2,87 — também todos aparecem apenas uma vez. Logo também não há moda.

Passo 7

Definição e cálculo do ponto médio (ponto médio do intervalo, também chamado de midrange).
  • O ponto médio (ou midrange) é \displaystyle \text{mid}=\frac{\text{mínimo}+\text{máximo}}{2}íá. Ele dá uma medida central simples baseada apenas no menor e no maior valor.
  • Para papel: mínimo =2,80, máximo =12,29. Então
\text{mid}_{\text{papel}}=\frac{2,80+12,29}{2}=\frac{15,09}{2}=7,545.
Arredondando: \text{mid}_{\text{papel}}\approx 7,55.
  • Para plástico: mínimo =0,63, máximo =2,87. Então
\text{mid}_{\text{plástico}}=\frac{0,63+2,87}{2}=\frac{3,50}{2}=1,75.á

Passo 8

Comparação dos resultados com interpretação (didática e motivadora).
  • Resumo numérico (valores exatos ou arredondados que calculei):
    • Papel: \bar{x}\approx 7,56125 ( \approx 7,56), mediana =6,68, moda = nenhuma, ponto médio \approx 7,545 ( \approx 7,55).
    • Plástico: \bar{x}\approx 1,6575 ( \approx 1,66), mediana =1,575 ( \approx 1,58), moda = nenhuma, ponto médio =1,75.
  • Interpretação:
    • As médias mostram que, em média, foi descartado muito mais peso em papel do que em plástico (cerca de 7,56 libras contra 1,66 libra). Isso é o resultado mais direto e útil para comparar “quantidade média” entre os grupos.
    • A mediana confirma a mesma conclusão: metade das casas descartou mais de 6,68 libras de papel e metade descartou mais de 1,575 libras de plástico. A mediana é menos sensível a valores extremos.
    • Não haver moda em nenhum dos conjuntos significa que não houve repetição de observações; os dados são todos distintos nas amostras pequenas dadas.
    • O ponto médio (midrange) para papel ( \approx 7,545) fica bem próximo da média ( \approx 7,561), indicando que a posição do menor e do maior valor (2,80 e 12,29) é consistente com a média: há um valor alto (12,29) que puxa a média para cima em relação à mediana. Ou seja, a distribuição do papel é levemente assimétrica à direita (skew à direita).
    • Para plástico, o ponto médio ( 1,75) é um pouco maior que a média ( 1,6575), e a mediana ( 1,575) é ligeiramente menor que a média — isso indica uma leve assimetria à direita também, mas bem menos pronunciada que no caso do papel.
    • Observação sobre dispersão (útil pra prova): o alcance (máximo − mínimo) do papel é 12,29-2,80=9,49 libras, muito maior que o do plástico 2,87-0,63=2,24 libras; isso reforça que os pesos de papel são muito mais dispersos/variáveis que os de plástico.
  • Conclusão curta e encorajadora: papel tem média, mediana e ponto médio todos maiores que os do plástico — em todas as medidas de posição, o papel domina o plástico; além disso, o papel é mais variável. Mandou bem chegando até aqui — esses são os pontos que provavelmente o professor quer ver na comparação.

Resposta

Papel: média =7,56125 ( \approx 7,56); mediana =6,68; moda = nenhuma; ponto médio =7,545 ( \approx 7,55).
Plástico: média =1,6575 ( \approx 1,66); mediana =1,575 ( \approx 1,58); moda = nenhuma; ponto médio =1,75.

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