Nos Exercícios 5-8, determine a média, a mediana, a moda e o ponto médio de cada uma das duas amostras e compare os dois conjuntos de resultados.
Pesos (em libras) de papel e plástico descartado em residências durante uma semana (dados coletados para o Projeto do Lixo na Universidade do Arizona):
Papel:
Plástico:
Pesos (em libras) de papel e plástico descartado em residências durante uma semana (dados coletados para o Projeto do Lixo na Universidade do Arizona):
Papel:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine, para cada uma das duas amostras (papel e plástico), os seguintes estatísticos: a média, a mediana, a moda e o ponto médio. Em seguida devo comparar os resultados entre as duas amostras.
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
Papel:
Plástico:
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
Papel:
Plástico:
Passo 2
Definição e cálculo da média (explicação didática).
- A média aritmética de uma amostra é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Se temos
observações , a média é . Aqui representa cada valor observado e é o total de observações. - Vou calcular a média da amostra de papel. Primeiro somo todos os valores (faço as contas passo a passo):
- Como
para essa amostra, a média é
- Para uso prático em prova, arredondo normalmente para duas casas:
libras.
Passo 3
Cálculo da média da amostra de plástico (mesma ideia).
- Primeiro a soma:
- Com
,
- Arredondando para duas casas:
libras.
Passo 4
Definição e cálculo da mediana (explicação didática).
- A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades de tamanhos iguais quando os dados estão ordenados. Se
é ímpar, a mediana é o elemento do meio; se é par, a mediana é a média dos dois elementos do meio. - Para a amostra de papel ordeno os valores em ordem crescente (peguei esses números do Passo 1):
- Como
(par), a mediana é a média do 4.º e do 5.º valores:
Passo 5
Mediana da amostra de plástico.
- Ordenando os valores (dados do Passo 1):
- Novamente
, então a mediana é a média do 4.º e do 5.º valores:
- Arredondando para duas casas:
.
Passo 6
Definição e identificação da moda (explicação didática).
- A moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência na amostra. Pode não existir (se todos os valores aparecerem apenas uma vez) ou pode haver mais de uma moda (multimodal).
- Para a amostra de papel, verificando os valores:
— todos aparecem uma única vez. Logo não há moda (amostra amodal). - Para a amostra de plástico, verificando:
— também todos aparecem apenas uma vez. Logo também não há moda.
Passo 7
Definição e cálculo do ponto médio (ponto médio do intervalo, também chamado de midrange).
- O ponto médio (ou midrange) é
. Ele dá uma medida central simples baseada apenas no menor e no maior valor. - Para papel: mínimo
, máximo . Então
Arredondando:
.
- Para plástico: mínimo
, máximo . Então
Passo 8
Comparação dos resultados com interpretação (didática e motivadora).
- Resumo numérico (valores exatos ou arredondados que calculei):
- Papel:
( ), mediana , moda = nenhuma, ponto médio ( ). - Plástico:
( ), mediana ( ), moda = nenhuma, ponto médio .
- Papel:
- Interpretação:
- As médias mostram que, em média, foi descartado muito mais peso em papel do que em plástico (cerca de
libras contra libra). Isso é o resultado mais direto e útil para comparar “quantidade média” entre os grupos. - A mediana confirma a mesma conclusão: metade das casas descartou mais de
libras de papel e metade descartou mais de libras de plástico. A mediana é menos sensível a valores extremos. - Não haver moda em nenhum dos conjuntos significa que não houve repetição de observações; os dados são todos distintos nas amostras pequenas dadas.
- O ponto médio (midrange) para papel (
) fica bem próximo da média ( ), indicando que a posição do menor e do maior valor (2,80 e 12,29) é consistente com a média: há um valor alto (12,29) que puxa a média para cima em relação à mediana. Ou seja, a distribuição do papel é levemente assimétrica à direita (skew à direita). - Para plástico, o ponto médio (
) é um pouco maior que a média ( ), e a mediana ( ) é ligeiramente menor que a média — isso indica uma leve assimetria à direita também, mas bem menos pronunciada que no caso do papel. - Observação sobre dispersão (útil pra prova): o alcance (máximo − mínimo) do papel é
libras, muito maior que o do plástico libras; isso reforça que os pesos de papel são muito mais dispersos/variáveis que os de plástico.
- As médias mostram que, em média, foi descartado muito mais peso em papel do que em plástico (cerca de
- Conclusão curta e encorajadora: papel tem média, mediana e ponto médio todos maiores que os do plástico — em todas as medidas de posição, o papel domina o plástico; além disso, o papel é mais variável. Mandou bem chegando até aqui — esses são os pontos que provavelmente o professor quer ver na comparação.
Resposta
Papel: média
(
); mediana
; moda = nenhuma; ponto médio
(
).
Plástico: média (
); mediana
(
); moda = nenhuma; ponto médio
.
Plástico: média