Nos Exercícios 1-4, determine (a) a média, (b) a mediana, (c) a moda e (d) o ponto médio.
Depósitos de nitrato (em kg por hectare) como parte da chuva ácida no estado de Massachusetts de julho a setembro dos últimos anos (com base em dados do Ministério da Agricultura dos EUA):
\begin{array}{lllllllllll}6,40 & 5,21 & 4,66 & 5,24 & 6,96 & 5,53 & 8,23 & 6,80 & 5,78 & 6,00 & 5,41\end{array}

Passo 1

O enunciado pede quatro medidas para o conjunto de dados fornecido. Perguntas: (a) qual é a média; (b) qual é a mediana; (c) qual é a moda; (d) qual é o ponto médio (midrange). \n
Os dados fornecidos (depósitos de nitrato, em kg/ha) são:
6,40,\;5,21,\;4,66,\;5,24,\;6,96,\;5,53,\;8,23,\;6,80,\;5,78,\;6,00,\;5,41

Passo 2

Calcular a média. Primeiro explico a fórmula e a ideia: a média aritmética é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Em símbolos, se os valores são x_1,x_2,\dots,x_n, a média \bar{x} é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n é o número total de observações (quantas medidas temos) e \sum_{i=1}^{n} x_i é a soma de todas elas. Isso mede o “valor típico” se distribuirmos igualmente o total entre todas as observações. \n
Contagem: o conjunto tem n=11 observações (veja a lista do Passo 1). Agora somamos todos os valores (vou mostrar a soma passo a passo para você poder conferir na prova):
\begin{aligned} 6,40+5,21&=11,61\\\\ 11,61+4,66&=16,27\\\\ 16,27+5,24&=21,51\\\\ 21,51+6,96&=28,47\\\\ 28,47+5,53&=34,00\\\\ 34,00+8,23&=42,23\\\\ 42,23+6,80&=49,03\\\\ 49,03+5,78&=54,81\\\\ 54,81+6,00&=60,81\\\\ 60,81+5,41&=66,22 \end{aligned}
Portanto \sum_{i=1}^{11} x_i = 66,22. Agora a média:
\bar{x}=\frac{66,22}{11}=6,02.
Interpretação rápida: se repartíssemos os 66,22 kg/ha igualmente entre as 11 observações, cada uma teria 6,02 kg/ha.

Passo 3

Calcular a mediana. Primeiro explico o conceito: a mediana é o valor que fica no centro quando os dados são ordenados do menor para o maior. Se n é ímpar, a mediana é o valor na posição \frac{n+1}{2}. Se n é par, a mediana é a média dos dois valores centrais. \n
Aqui n=11 (ímpar), então a posição da mediana é
\frac{n+1}{2}=\frac{11+1}{2}=6,
ou seja, a mediana é o 6.º menor valor. Primeiro ordenamos os dados em ordem crescente (mostro a ordenação explicitamente):
4,66,\;5,21,\;5,24,\;5,41,\;5,53,\;5,78,\;6,00,\;6,40,\;6,80,\;6,96,\;8,23
O 6.º valor dessa lista é 5,78. Portanto a mediana é
\text{mediana}=5,78.

Passo 4

Calcular a moda. Conceito: a moda é o(s) valor(es) que aparecem com maior frequência no conjunto de dados. Se vários valores aparecem com a mesma maior frequência, pode haver múltiplas modas; se todos aparecem uma única vez, dizemos que não há moda (ou que a distribuição é amodal). \n
Contando as repetições na lista original/ordenada, cada valor aparece exatamente uma vez. Logo não existe valor que se repita mais que os outros. Conclusão:
\text{moda}=\text{nenhuma (sem moda)}.

Passo 5

Calcular o ponto médio (midrange). Explicação: o ponto médio entre o menor e o maior valor (midrange) é dado por
\text{midrange}=\frac{\text{mínimo}+\text{máximo}}{2}.íá
Ele é uma medida simples de localização, sensível a extremos. \n
No conjunto ordenado (veja Passo 3) o mínimo é 4,66 e o máximo é 8,23. Portanto
\text{midrange}=\frac{4,66+8,23}{2}=\frac{12,89}{2}=6,445.
Se quiser arredondar para duas casas decimais (como frequentemente se pratica), seria 6,45, mas o valor exato com os dados fornecidos é 6,445.

Resposta

(a) \bar{x}=6,02
(b) mediana =5,78
(c) moda = nenhuma (sem moda)
(d) ponto médio =6,445

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