Nos Exercícios 1-4, determine (a) a média, (b) a mediana, (c) a moda e (d) o ponto médio.
Os valores a seguir são os pesos (em onças) de bifes constantes do cardápio de um restaurante como “Bifes Porterhouse de 20 onças” (dados coletados por um aluno do autor). Supõe-se que o peso seja de 21 oz porque os filés perdem cerca de uma onça ao serem cozidos. Os pesos a seguir parecem razoáveis?
\begin{array}{llllllllll}17 & 20 & 21 & 18 & 20 & 20 & 20 & 18 & 19 & 19 \\\\ 20 & 19 & 21 & 20 & 18 & 20 & 20 & 19 & 18 & 19\end{array}

Passo 1

O enunciado pede: (a) a média, (b) a mediana, (c) a moda e (d) o ponto médio dos pesos (em onças) dos bifes. Também pergunta se esses pesos parecem razoáveis sabendo que se supõe o peso seja de 21 oz (porque os filés perdem cerca de uma onça ao serem cozidos).\n
Os dados fornecidos são (vinte observações):
\begin{array}{llllllllll} 17 & 20 & 21 & 18 & 20 & 20 & 20 & 18 & 19 & 19 \\[4pt] 20 & 19 & 21 & 20 & 18 & 20 & 20 & 19 & 18 & 19 \end{array}
Vou usar esses valores tal como estão para calcular as medidas pedidas.]

Passo 2

Média (explicação do conceito e fórmula). A média aritmética de um conjunto de n valores x_1,x_2,\dots,x_n é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média, n é o número total de observações e x_i é cada observação. Aqui n=20.\n
Para facilitar, conto as frequências de cada valor (isto é prático quando há muitos valores repetidos):
\begin{aligned} 17&:\;1\text{ vez},\\\\ 18&:\;4\text{ vezes},\\\\ 19&:\;5\text{ vezes},\\\\ 20&:\;8\text{ vezes},\\\\ 21&:\;2\text{ vezes}. \end{aligned}
Calculando a soma total dos pesos:
\sum x_i = 17\cdot1 + 18\cdot4 + 19\cdot5 + 20\cdot8 + 21\cdot2.
Faço as multiplicações e somas passo a passo:
17\cdot1=17,\quad 18\cdot4=72,\quad 19\cdot5=95,\quad 20\cdot8=160,\quad 21\cdot2=42.
Somando:
\sum x_i = 17+72+95+160+42 = 386.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{386}{20}=19,3.
Interpretação rápida: em média os bifes pesam \,19{,}3\\ \text{oz}.

Passo 3

Mediana (explicação e cálculo). A mediana é o valor que divide o conjunto ordenado em duas metades iguais. Procedimento:
  1. Ordenar os dados em ordem crescente.
  2. Se n for ímpar, a mediana é o valor na posição \frac{n+1}{2}. Se n for par, a mediana é a média dos valores nas posições \frac{n}{2} e \frac{n}{2}+1.\n
    Aqui n=20 (par). Ordenando os dados (do menor ao maior) obtemos:
17,\;18,\;18,\;18,\;18,\;19,\;19,\;19,\;19,\;19,\;20,\;20,\;20,\;20,\;20,\;20,\;20,\;20,\;21,\;21.
As posições 10 e 11 (porque \frac{n}{2}=10) são:
\text{10ª observação} = 19,\qquad \text{11ª observação} = 20.ªçãªçã
Portanto a mediana é
\text{mediana}=\frac{19+20}{2}=19,5.

Passo 4

Moda (explicação e cálculo). A moda é o valor que aparece com maior frequência. Das contagens do Passo 2 vimos:
\text{frequências: }17(1),\;18(4),\;19(5),\;20(8),\;21(2).ê
O valor com maior frequência é 20 (aparece 8 vezes). Logo
\text{moda}=20.

Passo 5

Ponto médio (explicação e cálculo). Aqui “ponto médio” refere-se ao midrange, isto é, a média entre o menor e o maior valor observado:
\text{ponto médio}=\frac{\text{mínimo}+\text{máximo}}{2}.éíá
Do conjunto ordenado vemos mínimo =17 e máximo =21. Então
\text{ponto médio}=\frac{17+21}{2}=\frac{38}{2}=19.é

Passo 6

Avaliação de razoabilidade frente à suposição de 21 oz. Interpretação: se o esperado (suposto) é \,21\\ \text{oz}, comparamos medidas de tendência central. Encontramos média \,19{,}3\\ \text{oz} e mediana \,19{,}5\\ \text{oz}, ambos menores que \,21\\ \text{oz}. A moda é \,20\\ \text{oz}. Isso indica que a maioria dos bifes está abaixo de \,21\\ \text{oz}; muitos estão em torno de \,19 20\\ \text{oz}. Portanto, os pesos parecem estar ligeiramente abaixo do valor suposto de \,21\\ \text{oz} — ou seja, não parecem totalmente razoáveis se esperar-se realmente \,21\\ \text{oz} como valor típico.

Resposta

(a) \bar{x}=19,3\\ \text{oz}
(b) mediana =19,5\\ \text{oz}
(c) moda =20\\ \text{oz}
(d) ponto médio =19\\ \text{oz}
Os pesos não parecem razoáveis; a média e a mediana ( 19{,}3 e 19{,}5 oz) estão abaixo do valor suposto de 21 oz.

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