Exercícios
Determine a relação usada para cálculo da pressão atmosférica usando um barômetro.
Determine a relação usada para cálculo da pressão atmosférica usando um barômetro.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a relação usada para cálculo da pressão atmosférica usando um barômetro.”
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
- O barômetro mede a altura
de uma coluna de fluido (no barômetro de Torricelli, esse fluido é geralmente mercúrio). - A coluna tem densidade
. - Há aceleração gravitacional
. - O topo da coluna está praticamente em vácuo (pressão muito próxima de zero).
A partir disso devemos obter a fórmula que relaciona, , e .
Passo 2
Intuição física e definição de variáveis: a pressão em um fluido em equilíbrio varia com a profundidade porque cada camada de fluido precisa suportar o peso das camadas acima. Vamos usar uma coordenada vertical
orientada para cima (ou seja, quanto maior
, mais alto no fluido). Definições:
= pressão no nível
.
= densidade do fluido (kg/m
).
= aceleração da gravidade (m/s
).
= área da seção transversal imaginária (m
).
= pequena variação vertical (m).
Queremos relacionar a variação de pressão com o peso de uma lâmina de fluido.
Queremos relacionar a variação de pressão com o peso de uma lâmina de fluido.
Passo 3
Equilíbrio de forças sobre um elemento cilíndrico de fluido de área
e altura
: forças verticais (positivas para cima) são a pressão de baixo empurrando para cima e a pressão de cima empurrando para baixo, mais o peso do elemento para baixo. Escrevemos o equilíbrio (soma das forças = 0):
Dividindo por
e rearranjando:
Passando para derivada no limite
:
Essa é a equação diferencial da hidrostaticidade: a taxa de variação da pressão com a altitude é
.
Passo 4
Integramos a equação hidroestática entre dois níveis
(topo da coluna, onde há vácuo) e
(a base, em contato com a atmosfera). A integral é
Isso dá
Definindo
(altura da coluna), obtemos
No barômetro de Torricelli o topo está praticamente em vácuo, então
e
é exatamente a pressão atmosférica
. Portanto
Passo 5
Interpretação e significado das variáveis na fórmula final:
é a pressão atmosférica no ponto onde a coluna repousa (unidade SI: pascal, Pa).
é a densidade do fluido usado no barômetro (para mercúrio típica-
).
é a aceleração da gravidade (usualmente
).
é a altura da coluna medida (em metros).
Unidades: tem unidades
, consistente.
Unidades:
Passo 6
Exemplo numérico (para fixar): usando mercúrio com
,
e
,
que é o valor aproximado da pressão atmosférica ao nível do mar (
). Isso mostra por que se usa mercúrio: sua alta densidade gera uma coluna de altura prática.
Passo 7
Observações práticas e limitações rápidas: a fórmula
assume vácuo perfeito no topo, fluido incompressível e sem efeitos de menisco significativos. Em medições precisas há correções por temperatura (que altera
) e por pequena pressão residual no topo; se houver outra pressão no topo, a fórmula geral é
.