Exercícios
Determine a relação usada para cálculo da pressão atmosférica usando um barômetro.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a relação usada para cálculo da pressão atmosférica usando um barômetro.”
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
  • O barômetro mede a altura h de uma coluna de fluido (no barômetro de Torricelli, esse fluido é geralmente mercúrio).
  • A coluna tem densidade \rho.
  • Há aceleração gravitacional g.
  • O topo da coluna está praticamente em vácuo (pressão muito próxima de zero).
    A partir disso devemos obter a fórmula que relaciona p_{\text{atm}}, \rho, g e h.

Passo 2

Intuição física e definição de variáveis: a pressão em um fluido em equilíbrio varia com a profundidade porque cada camada de fluido precisa suportar o peso das camadas acima. Vamos usar uma coordenada vertical z orientada para cima (ou seja, quanto maior z, mais alto no fluido). Definições:
\;p(z) = pressão no nível z.
\;\rho = densidade do fluido (kg/m ^3).
\;g = aceleração da gravidade (m/s ^2).
\;A = área da seção transversal imaginária (m ^2).
\;dz = pequena variação vertical (m).
Queremos relacionar a variação de pressão com o peso de uma lâmina de fluido.

Passo 3

Equilíbrio de forças sobre um elemento cilíndrico de fluido de área A e altura dz: forças verticais (positivas para cima) são a pressão de baixo empurrando para cima e a pressão de cima empurrando para baixo, mais o peso do elemento para baixo. Escrevemos o equilíbrio (soma das forças = 0):
p(z)\,A - p(z+dz)\,A - (\rho\,A\,dz)\,g = 0.
Dividindo por A e rearranjando:
p(z) - p(z+dz) = \rho\,g\,dz.
Passando para derivada no limite dz\to 0:
-\frac{dp}{dz} = \rho\,g \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dz} = -\rho\,g.
Essa é a equação diferencial da hidrostaticidade: a taxa de variação da pressão com a altitude é -\rho g.

Passo 4

Integramos a equação hidroestática entre dois níveis z_{\text{top}} (topo da coluna, onde há vácuo) e z_{\text{base}} (a base, em contato com a atmosfera). A integral é
\int_{p(z_{\text{top}})}^{p(z_{\text{base}})} dp = -\rho g \int_{z_{\text{top}}}^{z_{\text{base}}} dz.
Isso dá
p(z_{\text{base}})-p(z_{\text{top}}) = -\rho g (z_{\text{base}}-z_{\text{top}}).
Definindo h = z_{\text{base}}-z_{\text{top}} (altura da coluna), obtemos
p_{\text{base}} = p_{\text{top}} + \rho g h.
No barômetro de Torricelli o topo está praticamente em vácuo, então p_{\text{top}}\approx 0 e p_{\text{base}} é exatamente a pressão atmosférica p_{\text{atm}}. Portanto
p_{\text{atm}} = \rho g h.

Passo 5

Interpretação e significado das variáveis na fórmula final:
\;p_{\text{atm}} é a pressão atmosférica no ponto onde a coluna repousa (unidade SI: pascal, Pa).
\;\rho é a densidade do fluido usado no barômetro (para mercúrio típica- \rho\approx 13{,}6\times 10^{3}\,\text{kg/m}^3).
\;g é a aceleração da gravidade (usualmente \;g\approx 9{,}81\,\text{m/s}^2).
\;h é a altura da coluna medida (em metros).
Unidades: \rho g h tem unidades \text{kg/m}^3\cdot\text{m/s}^2\cdot\text{m}=\text{kg/(m·s}^2)=\text{Pa}, consistente.

Passo 6

Exemplo numérico (para fixar): usando mercúrio com \rho=13{,}6\times 10^{3}\,\text{kg/m}^3, g=9{,}81\,\text{m/s}^2 e h=0{,}760\,\text{m},
p_{\text{atm}} = (13{,}6\times 10^{3})(9{,}81)(0{,}760)\approx 1{,}013\times 10^{5}\,\text{Pa},
que é o valor aproximado da pressão atmosférica ao nível do mar ( 101{,}3\\ \text{kPa}). Isso mostra por que se usa mercúrio: sua alta densidade gera uma coluna de altura prática.

Passo 7

Observações práticas e limitações rápidas: a fórmula p_{\text{atm}}=\rho g h assume vácuo perfeito no topo, fluido incompressível e sem efeitos de menisco significativos. Em medições precisas há correções por temperatura (que altera \rho) e por pequena pressão residual no topo; se houver outra pressão no topo, a fórmula geral é p_{\text{atm}}=p_{\text{top}}+\rho g h.

Resposta

p_{\text{atm}}=\rho\,g\,h

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