1-8 Estes exercícios dizem respeito a funções de duas variáveis.
Seja g(x)=x \operatorname{sen} x. Determine
g(x y)

Passo 1

O enunciado dá a função g definida por g(x)=x\operatorname{sen}x.
O que se pede: determinar g(xy) (ou seja, a expressão de g quando sua entrada é o produto x y).

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo, sem pressa): quando uma função está dada por uma fórmula em termos de uma variável — aqui a variável é x — escrever g(\text{algo}) significa substituir a variável x por esse “algo” em toda a fórmula.
  • A função original é g(x)=x\operatorname{sen}x.
  • Se quisermos g(a) para algum número ou expressão a, fazemos a substituição x\mapsto a em toda a expressão de g: isto é, g(a)=a\operatorname{sen}a.
    Explicando cada símbolo: na fórmula g(x)=x\operatorname{sen}x, o primeiro x é um fator multiplicativo (multiplica o seno), e o segundo x é o argumento da função seno. Ao substituir, ambos devem ser trocados pelo novo argumento.

Passo 3

Aplicando a regra de substituição ao caso pedido: o novo argumento é x y. Então fazemos x\mapsto x y em toda a fórmula x\operatorname{sen}x. Isso dá
g(xy)=(x y)\operatorname{sen}(x y).
Aqui ficou explícito que tanto o fator fora do seno quanto o argumento do seno foram substituídos por x y.

Passo 4

Para fixar a ideia com um exemplo numérico (mais didático): se tomarmos x=2 e y=3, então x y=6 e
g(xy)=g(6)=6\operatorname{sen}6.
Compare com primeiro calcular g(x) e depois substituir: g(x)=x\operatorname{sen}x e avaliando em x=6 dá o mesmo resultado. Isso mostra que a substituição foi feita corretamente.

Passo 5

Dica prática para a prova: sempre identifique claramente o “argumento” da função (aquilo que entra entre parênteses em g(\cdot)). Depois, substitua esse argumento em todos os lugares onde aparece a variável na expressão de g. Sem mistério — é só substituir com cuidado.

Resposta

g(xy)=(x y)\operatorname{sen}(x y)

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