Sendo
um arco do ciclo trigonométrico, a relação tg
é válida
a) somente para
.
b) somente para
,
c) para todo valor de
do primeiro quadrante.
4) para todo valor de
tal que
.
e) para todo valor de
.
b) somente para
c) para todo valor de
4) para todo valor de
e) para todo valor de
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Verificar para quais valores de
a igualdade
é válida.
Informações dadas:
-
é um arco do ciclo trigonométrico (ou seja, um ângulo real). - As alternativas são:
- a) somente para
. - b) somente para
. - c) para todo valor de
do primeiro quadrante. -
- para todo valor de
tal que .
- para todo valor de
- e) para todo valor de
.
- a) somente para
Passo 2
Definições e restrições (aqui a gente aprende as peças do quebra-cabeça):
-
é definido como . Requisito: . -
é definido como . Requisito: . -
é definido como . Requisito: . -
é definido como . Requisito: .
Comentário amigável: portanto, para que toda expressão seja bem definida precisamos de
e
. Vamos ver se a igualdade se reduz a algo simples sob essas hipóteses.
Passo 3
Calcular o membro esquerdo
transformando para uma única fração (passo a passo):
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Usando a identidade pitagórica
, obtemos
Passo 4
Calcular o membro direito
:
Portanto ambos os lados são iguais e valem
, desde que essas frações existam (ou seja, desde que
e
).
Passo 5
Conclusão lógica e comparação com as alternativas:
- A igualdade é verdadeira exatamente quando
e são diferentes de zero, porque então todas as expressões envolvidas existem e a simplificação feita vale. - A alternativa que descreve essa condição é a alternativa marcada como “4)”. As outras alternativas são incorretas:
- a) falsa: não é só para
(funciona para muitos outros ângulos, por exemplo ). - b) falsa: para
temos , então e não estão definidos. - c) parcialmente verdadeira (no primeiro quadrante
e são não nulos, então a igualdade vale lá), mas é menos geral que a alternativa correta, que permite também ângulos de quadrantes onde seno e cosseno são ambos não nulos (por exemplo tem ambos não nulos? nesse caso e são ambos não nulos, sim — atenção ao sinal, a igualdade continua válida porque os sinais se combinam na fração). - e) falsa: há ângulos (por exemplo
ou ) onde a expressão não está definida.
- a) falsa: não é só para
Exemplo numérico rápido (pra fixar): para
tem-se
, então
e
— bate certinho.
Passo 6
Resposta final e recado amigo: a igualdade é uma identidade simples depois de escrever tudo em frações e usar
. O ponto crucial na prova é verificar a existência das funções (evitar divisões por zero). Força na prova — você consegue!
Resposta
- para todo valor de
tal que .