Sendo x um arco do ciclo trigonométrico, a relação tg x+\operatorname{cotg} x=\operatorname{sec} x \cdot \operatorname{cossec} x é válida
a) somente para x=\frac{\pi}{3}.
b) somente para x=\frac{\pi}{2},
c) para todo valor de x do primeiro quadrante.
4) para todo valor de x tal que \operatorname{sen} x \cdot \cos x \neq 0.
e) para todo valor de x.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Verificar para quais valores de x a igualdade
\tan x + \cot x = \operatorname{sec} x \cdot \csc x
é válida.
Informações dadas:
  • x é um arco do ciclo trigonométrico (ou seja, um ângulo real).
  • As alternativas são:
    • a) somente para x=\dfrac{\pi}{3}.
    • b) somente para x=\dfrac{\pi}{2}.
    • c) para todo valor de x do primeiro quadrante.
      1. para todo valor de x tal que \operatorname{sen} x \cdot \cos x \neq 0.
    • e) para todo valor de x.

Passo 2

Definições e restrições (aqui a gente aprende as peças do quebra-cabeça):
  • \tan x é definido como \displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Requisito: \cos x \neq 0.
  • \cot x é definido como \displaystyle \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}. Requisito: \sin x \neq 0.
  • \operatorname{sec} x é definido como \displaystyle \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}. Requisito: \cos x \neq 0.
  • \csc x é definido como \displaystyle \csc x = \frac{1}{\sin x}. Requisito: \sin x \neq 0.
Comentário amigável: portanto, para que toda expressão seja bem definida precisamos de \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0. Vamos ver se a igualdade se reduz a algo simples sob essas hipóteses.

Passo 3

Calcular o membro esquerdo \tan x+\cot x transformando para uma única fração (passo a passo):
\tan x+\cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}.
Colocando sobre o mesmo denominador \sin x\cos x:
\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}.
Usando a identidade pitagórica \sin^2 x + \cos^2 x = 1, obtemos
\tan x+\cot x = \frac{1}{\sin x \cos x}.

Passo 4

Calcular o membro direito \operatorname{sec} x\cdot\csc x:
\operatorname{sec} x\cdot\csc x = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\sin x \cos x}.
Portanto ambos os lados são iguais e valem \dfrac{1}{\sin x\cos x}, desde que essas frações existam (ou seja, desde que \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0).

Passo 5

Conclusão lógica e comparação com as alternativas:
  • A igualdade é verdadeira exatamente quando \sin x e \cos x são diferentes de zero, porque então todas as expressões envolvidas existem e a simplificação feita vale.
  • A alternativa que descreve essa condição é a alternativa marcada como “4)”. As outras alternativas são incorretas:
    • a) falsa: não é só para x=\dfrac{\pi}{3} (funciona para muitos outros ângulos, por exemplo x=\dfrac{\pi}{4}).
    • b) falsa: para x=\dfrac{\pi}{2} temos \cos x=0, então \tan x e \operatorname{sec} x não estão definidos.
    • c) parcialmente verdadeira (no primeiro quadrante \sin x e \cos x são não nulos, então a igualdade vale lá), mas é menos geral que a alternativa correta, que permite também ângulos de quadrantes onde seno e cosseno são ambos não nulos (por exemplo \dfrac{5\pi}{4} tem ambos não nulos? nesse caso \sin e \cos são ambos não nulos, sim — atenção ao sinal, a igualdade continua válida porque os sinais se combinam na fração).
    • e) falsa: há ângulos (por exemplo 0 ou \dfrac{\pi}{2}) onde a expressão não está definida.
Exemplo numérico rápido (pra fixar): para x=\dfrac{\pi}{4} tem-se \sin x=\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então \tan x+\cot x=2 e \operatorname{sec} x\csc x=2 — bate certinho.

Passo 6

Resposta final e recado amigo: a igualdade é uma identidade simples depois de escrever tudo em frações e usar \sin^2 x+\cos^2 x=1. O ponto crucial na prova é verificar a existência das funções (evitar divisões por zero). Força na prova — você consegue!

Resposta

  1. para todo valor de x tal que \operatorname{sen} x \cdot \cos x \neq 0.

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