\operatorname{secossec} x=\sqrt{5} e \operatorname{cotg} x=-2, o arco x pertence a qual quadrante?
a) primeiro quadrante.
b) Segundo quadrante.
c) terceiro quadrante.
d) quarto quadrante.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá (peguei estes dados do enunciado e da imagem enviada; a imagem está um pouco borrada, então há uma pequena incerteza quanto ao primeiro sinal, veja observação):
  • Da imagem/enunciado: \operatorname{secossec} x=\sqrt{5} (interpreto isto como \operatorname{sec} x + \csc x = \sqrt{5}; não tenho 100% de certeza do sinal entre as funções por causa da qualidade da imagem, mas vou assumir o sinal +).
  • Da imagem/enunciado: \operatorname{cotg} x=-2, isto é, \cot x=-2.
O que o problema pergunta: em qual quadrante o arco x está? (alternativas: primeiro, segundo, terceiro ou quarto quadrante).

Passo 2

Relembrando definições e sinais (aula rápida e prática):
  • \sin x e \cos x são as coordenadas do ponto do círculo unitário correspondente ao ângulo x.
  • \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, \csc x=\dfrac{1}{\sin x}, \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}.
  • Sinais das funções por quadrante:
    • Primeiro quadrante: \sin>0,\\ \cos>0.
    • Segundo quadrante: \sin>0,\\ \cos<0.
    • Terceiro quadrante: \sin<0,\\ \cos<0.
    • Quarto quadrante: \sin<0,\\ \cos>0.
Como \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}=-2 é negativo, concluímos imediatamente que \cos x e \sin x têm sinais opostos. Assim x está no segundo ou no quarto quadrante (porque nesses quadrantes seno e cosseno têm sinais opostos).

Passo 3

Usar \cot x=-2 para relacionar \cos x e \sin x numericamente:
  • Escrevemos \dfrac{\cos x}{\sin x}=-2. Multiplicando, obtemos \cos x = -2\sin x.
Isto expressa o cosseno em função do seno.

Passo 4

Usar a identidade pitagórica \sin^2 x+\cos^2 x=1 para encontrar \sin^2 x:
  • Substituindo \cos x=-2\sin x em \sin^2 x+\cos^2 x=1: \sin^2 x + (-2\sin x)^2 = 1.
  • Desenvolvendo: \sin^2 x + 4\sin^2 x = 1,
5\sin^2 x = 1,
\sin^2 x = \frac{1}{5}.
  • Portanto \sin x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{5}}. Usando \cos x=-2\sin x, temos \cos x = \mp \frac{2}{\sqrt{5}},
ou seja, os módulos são |\sin x|=\dfrac{1}{\sqrt{5}} e |\cos x|=\dfrac{2}{\sqrt{5}}, e os sinais são opostos entre si (como já sabíamos do sinal de \cot x).

Passo 5

Determinar o sinal de \sin x (e, consequentemente, o quadrante) usando a igualdade adicional \operatorname{sec} x + \csc x = \sqrt{5} (assumida a partir do enunciado).
  • Escrevemos \operatorname{sec} x+\csc x=\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1}{\sin x}=\sqrt{5}.
  • Vamos testar as duas possibilidades de sinal para \sin x (as magnitudes já conhecidas):
    1. Se \sin x=+\dfrac{1}{\sqrt{5}}, então \cos x=-\dfrac{2}{\sqrt{5}}. Calculamos \operatorname{sec} x+\csc x = \frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{-\tfrac{2}{\sqrt{5}}}+\frac{1}{\tfrac{1}{\sqrt{5}}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{2},cujo sinal é positivo.
    2. Se \sin x=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}, então \cos x=+\dfrac{2}{\sqrt{5}}. Calculamos \operatorname{sec} x+\csc x = \frac{1}{\tfrac{2}{\sqrt{5}}}+\frac{1}{-\tfrac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5}}{2}-\sqrt{5} = -\frac{\sqrt{5}}{2},cujo sinal é negativo.
  • O enunciado dá \operatorname{sec} x+\csc x=\sqrt{5}, que é positivo. Entre as duas possibilidades de sinal para \sin x, a que torna \operatorname{sec} x+\csc x positiva é a primeira: \sin x>0 e \cos x<0.

Passo 6

Interpretação final do sinal de \sin x e \cos x:
  • Encontramos \sin x>0 e \cos x<0. Essa combinação de sinais corresponde ao segundo quadrante.

Resposta

b) Segundo quadrante.

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