e
, o arco
pertence a qual quadrante?
a) primeiro quadrante.
b) Segundo quadrante.
c) terceiro quadrante.
d) quarto quadrante.
b) Segundo quadrante.
c) terceiro quadrante.
d) quarto quadrante.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado nos dá (peguei estes dados do enunciado e da imagem enviada; a imagem está um pouco borrada, então há uma pequena incerteza quanto ao primeiro sinal, veja observação):
- Da imagem/enunciado:
(interpreto isto como ; não tenho 100% de certeza do sinal entre as funções por causa da qualidade da imagem, mas vou assumir o sinal ). - Da imagem/enunciado:
, isto é, .
O que o problema pergunta: em qual quadrante o arco
está? (alternativas: primeiro, segundo, terceiro ou quarto quadrante).
Passo 2
Relembrando definições e sinais (aula rápida e prática):
-
e são as coordenadas do ponto do círculo unitário correspondente ao ângulo . -
, , . - Sinais das funções por quadrante:
- Primeiro quadrante:
. - Segundo quadrante:
. - Terceiro quadrante:
. - Quarto quadrante:
.
- Primeiro quadrante:
Como
é negativo, concluímos imediatamente que
e
têm sinais opostos. Assim
está no segundo ou no quarto quadrante (porque nesses quadrantes seno e cosseno têm sinais opostos).
Passo 3
Usar
para relacionar
e
numericamente:
- Escrevemos
. Multiplicando, obtemos
Isto expressa o cosseno em função do seno.
Passo 4
Usar a identidade pitagórica
para encontrar
:
- Substituindo
em : - Desenvolvendo:
- Portanto
. Usando , temos
ou seja, os módulos são
e
, e os sinais são opostos entre si (como já sabíamos do sinal de
).
Passo 5
Determinar o sinal de
(e, consequentemente, o quadrante) usando a igualdade adicional
(assumida a partir do enunciado).
-
Escrevemos
. -
Vamos testar as duas possibilidades de sinal para
(as magnitudes já conhecidas): - Se
, então . Calculamos cujo sinal é positivo. - Se
, então . Calculamos cujo sinal é negativo.
- Se
-
O enunciado dá
, que é positivo. Entre as duas possibilidades de sinal para , a que torna positiva é a primeira: e .
Passo 6
Interpretação final do sinal de
e
:
- Encontramos
e . Essa combinação de sinais corresponde ao segundo quadrante.
Resposta
b) Segundo quadrante.