Nos exercícios 1 a 4, encontre a forma decimal para o número racional. Verifique se tem finitas ou infinitas casas após a vírgula.
2. 15 / 99
Passo 1
O enunciado pede para transformar o número racional \dfrac{15}{99} em sua forma decimal e verificar se essa forma decimal tem número finito ou infinito de casas decimais.
Informações dadas:
Numerador: 15.
Denominador: 99.
Passo 2
Primeiro simplificamos a fração para trabalhar com a forma irredutível (isso é importante porque a decisão sobre ser finita ou infinita depende do denominador em sua forma reduzida). Calculamos o máximo divisor comum entre 15 e 99.
Portanto a fração em forma irredutível é \dfrac{5}{33}.
Passo 3
Agora uma regra-chave (explicação didática): uma fração racional em forma irredutível \dfrac{p}{q} tem representação decimal finita se, e somente se, o denominador q tem apenas os fatores primos 2 e/ou 5. Isso acontece porque um número decimal finito corresponde a um inteiro dividido por alguma potência de 10 (lembre que 10=2\cdot5). Se q contém qualquer outro primo, não existe potência de 10 que torne \dfrac{p}{q} um número inteiro, então a expansão será infinita e periódica.
Fatorando o denominador reduzido:
33=3\cdot11.
Como 33 tem fatores primos 3 e 11 (não são apenas 2 e 5), a representação decimal de \dfrac{5}{33} — e portanto de \dfrac{15}{99} — será necessariamente infinita periódica.
Passo 4
Para encontrar exatamente os dígitos que se repetem, fazemos a divisão longa de 15 por 99 (ou equivalentemente de 5 por 33). Vou mostrar com 15\div99:
15<99, então a parte inteira é 0 e começamos os decimais. Resto inicial r_0=15.
Multiplica-se o resto por 10: 10\cdot r_0=150. Divide 150 por 99:150\div99=1\\ \text{(quociente)}\quad\text{resto } r_1=150-99=51.Primeiro dígito decimal: 1.
Multiplica o resto r_1 por 10: 10\cdot r_1=510. Divide 510 por 99:510\div99=5\\ \text{(quociente)}\quad\text{resto } r_2=510-5\cdot99=510-495=15.Segundo dígito decimal: 5.
Observa que o novo resto r_2 é 15, igual ao resto inicial r_0. Isso significa que o processo vai se repetir a partir daqui: os quocientes vão voltar a ser 1,5,1,5,\dots
Portanto os dígitos decimais formam o bloco 1,5 que se repete indefinidamente.
Passo 5
Conclusão didática: como apareceu um resto já visto (15), a divisão entra em ciclo e gera uma repetição periódica dos dígitos decimais. O período (o bloco que se repete) tem comprimento 2 e é exatamente os dígitos 15. Assim a representação decimal é infinita e periódica.
Resposta
0,\overline{15}
Infinitas casas decimais periódicas (período 2: os dígitos 1 e 5 se repetem).