Questão 19. Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de z=f(x ; y) no conjunto D indicado:
z=x^{3}+y^{3}-3 x-3 y, D é triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (0,2).

Passo 1

O enunciado dá a função e o conjunto onde devemos procurar extremos. Vou listar isso claramente.
  • Função: z=f(x,y)=x^{3}+y^{3}-3x-3y.
  • Conjunto D: triângulo convexo com vértices (0,0), (2,0) e (0,2). Isso significa que D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le2\}.
  • O que se pede: determinar o máximo absoluto e o mínimo absoluto de f no conjunto D, ou seja, encontrar os pontos em D onde f atinge seu maior e menor valor e informar esses valores.

Passo 2

Estratégia geral (por que e como vamos proceder).
  • Observação útil: f é polinomial, logo é contínua em todo \mathbb{R}^2. O conjunto D é compacto (fechado e limitado). Pelo Teorema do Valor Extremo, f atinge máximo e mínimo absolutos em D.
  • Consequência prática: os candidatos a extremos absolutos são (i) pontos críticos internos de D (onde o gradiente se anula) e (ii) pontos na fronteira de D (arestas do triângulo), incluindo vértices. Logo vamos:
    1. Calcular os pontos críticos interiores resolvendo \nabla f=0 e verificar se estão em D.
    2. Examinar cada aresta do triângulo: restringir f à aresta (função de uma variável) e achar seus extremos no segmento fechado correspondente (derivada nula ou pontos finais).
    3. Comparar todos os valores obtidos e escolher máximo e mínimo absolutos.
  • Motivação curta das ferramentas:
    • Gradiente: \nabla f=(f_x,f_y). Pontos críticos internos satisfazem \nabla f=0.
    • Para uma função de uma variável g(t) em um intervalo fechado, extremos ocorrem onde g'(t)=0 ou nas extremidades do intervalo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e resolver \nabla f=0.
  • Derivadas parciais:
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3, \qquad f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-3.
  • Igualando a zero:
3x^{2}-3=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1,
3y^{2}-3=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y=\pm1.
  • Assim os pontos críticos no plano são as combinações (x,y) com x=\pm1 e y=\pm1, ou seja:
(1,1),\\ (1,-1),\\ (-1,1),\\ (-1,-1).
  • Agora checamos quais desses estão no triângulo D. Como D tem x\ge0,\\ y\ge0, só o ponto (1,1) está em D (pois 1+1=2\le2). Os outros três estão fora de D.
  • Portanto o único ponto crítico interior (ou no interior/fecho relevante) a considerar é (1,1).

Passo 4

Classificar rapidamente o ponto crítico (1,1) (para entender se é mínimo/local máximo) usando a matriz Hessiana.
  • Segundas derivadas:
f_{xx}=6x,\qquad f_{yy}=6y,\qquad f_{xy}=f_{yx}=0.
  • Hessiana em (1,1):
H(1,1)=\begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt] 0 & 6\end{pmatrix}.
  • Essa matriz é positiva definida (autovalores 6>0), logo (1,1) é um ponto de mínimo local. O valor ali é
f(1,1)=1^{3}+1^{3}-3\cdot1-3\cdot1=1+1-3-3=-4.
  • Observação: ser mínimo local não garante ser mínimo absoluto sem comparar com a fronteira — por isso seguimos para analisar as arestas.]

Passo 5

Analisar a aresta entre (0,0) e (2,0) (ou seja, y=0,\\ x\in[0,2]).
  • Restrição: y=0. Defino g_1(x)=f(x,0)=x^{3}-3x com x\in[0,2].
  • Derivada:
g_1'(x)=3x^{2}-3=3(x^{2}-1).
  • Zeros de g_1': x=\pm1. No intervalo [0,2] temos x=1 como ponto crítico da restrição.
  • Avaliar nos candidatos (pontos críticos da aresta e extremidades do segmento):
g_1(0)=0^{3}-3\cdot0=0, \qquad g_1(1)=1-3=-2, \qquad g_1(2)=8-6=2.
  • Conclusão para essa aresta: valores possíveis \{0,-2,2\}. O mínimo local na aresta é -2 em (1,0), máximo na aresta é 2 em (2,0).

Passo 6

Analisar a aresta entre (0,0) e (0,2) (ou seja, x=0,\\ y\in[0,2]).
  • Restrição: x=0. Defino g_2(y)=f(0,y)=y^{3}-3y com y\in[0,2].
  • Derivada:
g_2'(y)=3y^{2}-3=3(y^{2}-1).
  • Zeros de g_2': y=\pm1. No intervalo [0,2] está y=1.
  • Avaliar nos candidatos:
g_2(0)=0,\qquad g_2(1)=1-3=-2,\qquad g_2(2)=8-6=2.
  • Conclusão para essa aresta: valores \{0,-2,2\}. O mínimo na aresta é -2 em (0,1), máximo é 2 em (0,2).

Passo 7

Analisar a aresta entre (2,0) e (0,2) (reta x+y=2, com x\in[0,2], y=2-x).
  • Restrição: y=2-x. Defino g_3(x)=f(x,2-x) para x\in[0,2].
  • Calcular g_3(x):
g_3(x)=x^{3}+(2-x)^{3}-3x-3(2-x).
  • Expandindo (2-x)^{3}:
(2-x)^{3}=8-12x+6x^{2}-x^{3}.
  • Somando com x^{3} e simplificando o termo linear:
x^{3}+(2-x)^{3}=x^{3}+8-12x+6x^{2}-x^{3}=8-12x+6x^{2}.
-3x-3(2-x)=-3x-6+3x=-6.
\Rightarrow g_3(x)=8-12x+6x^{2}-6=6x^{2}-12x+2.
  • Derivada:
g_3'(x)=12x-12=12(x-1).
  • Zeros: x=1, que está no intervalo [0,2].
  • Avaliar nos candidatos (extremidades e ponto crítico):
g_3(0)=6\cdot0^{2}-12\cdot0+2=2, \qquad g_3(1)=6-12+2=-4, \qquad g_3(2)=24-24+2=2.
  • Conclusão para essa aresta: mínimo -4 em x=1, ou seja no ponto (1,1) (que já tínhamos como crítico interior — nota que (1,1) fica também na fronteira do triângulo, pois 1+1=2), e máximo na aresta é 2 nos extremos (0,2) e (2,0).

Passo 8

Juntar todos os candidatos e escolher máximo e mínimo absolutos.
  • Lista de pontos testados e valores:
    • Interior crítico: (1,1) com f(1,1)=-4.
    • Vértices: (0,0) com f=0; (2,0) com f=2; (0,2) com f=2.
    • Pontos críticos nas arestas: (1,0) com f=-2; (0,1) com f=-2. (Além de (1,1) que aparece também na aresta x+y=2.)
  • Comparando os valores: o menor valor encontrado é -4 em (1,1); o maior valor encontrado é 2, atingido em (2,0) e em (0,2).
  • Portanto o mínimo absoluto é -4 em (1,1) e o máximo absoluto é 2 em (2,0) e (0,2).

Resposta

Mínimo absoluto: -4 em (1,1)
Máximo absoluto: 2 em (2,0) e em (0,2)

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