Questão 19. Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de
no conjunto
indicado:
é triângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função e o conjunto onde devemos procurar extremos. Vou listar isso claramente.
- Função:
. - Conjunto
: triângulo convexo com vértices , e . Isso significa que . - O que se pede: determinar o máximo absoluto e o mínimo absoluto de
no conjunto , ou seja, encontrar os pontos em onde atinge seu maior e menor valor e informar esses valores.
Passo 2
Estratégia geral (por que e como vamos proceder).
- Observação útil:
é polinomial, logo é contínua em todo . O conjunto é compacto (fechado e limitado). Pelo Teorema do Valor Extremo, atinge máximo e mínimo absolutos em . - Consequência prática: os candidatos a extremos absolutos são (i) pontos críticos internos de
(onde o gradiente se anula) e (ii) pontos na fronteira de (arestas do triângulo), incluindo vértices. Logo vamos: - Calcular os pontos críticos interiores resolvendo
e verificar se estão em . - Examinar cada aresta do triângulo: restringir
à aresta (função de uma variável) e achar seus extremos no segmento fechado correspondente (derivada nula ou pontos finais). - Comparar todos os valores obtidos e escolher máximo e mínimo absolutos.
- Calcular os pontos críticos interiores resolvendo
- Motivação curta das ferramentas:
- Gradiente:
. Pontos críticos internos satisfazem . - Para uma função de uma variável
em um intervalo fechado, extremos ocorrem onde ou nas extremidades do intervalo.
- Gradiente:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e resolver
.
- Derivadas parciais:
- Igualando a zero:
- Assim os pontos críticos no plano são as combinações
com e , ou seja:
- Agora checamos quais desses estão no triângulo
. Como tem , só o ponto está em (pois ). Os outros três estão fora de . - Portanto o único ponto crítico interior (ou no interior/fecho relevante) a considerar é
.
Passo 4
Classificar rapidamente o ponto crítico
(para entender se é mínimo/local máximo) usando a matriz Hessiana.
- Segundas derivadas:
- Hessiana em
:
- Essa matriz é positiva definida (autovalores
), logo é um ponto de mínimo local. O valor ali é
- Observação: ser mínimo local não garante ser mínimo absoluto sem comparar com a fronteira — por isso seguimos para analisar as arestas.]
Passo 5
Analisar a aresta entre
e
(ou seja,
).
- Restrição:
. Defino com . - Derivada:
- Zeros de
: . No intervalo temos como ponto crítico da restrição. - Avaliar nos candidatos (pontos críticos da aresta e extremidades do segmento):
- Conclusão para essa aresta: valores possíveis
. O mínimo local na aresta é em , máximo na aresta é em .
Passo 6
Analisar a aresta entre
e
(ou seja,
).
- Restrição:
. Defino com . - Derivada:
- Zeros de
: . No intervalo está . - Avaliar nos candidatos:
- Conclusão para essa aresta: valores
. O mínimo na aresta é em , máximo é em .
Passo 7
Analisar a aresta entre
e
(reta
, com
,
).
- Restrição:
. Defino para . - Calcular
:
- Expandindo
:
- Somando com
e simplificando o termo linear:
- Derivada:
- Zeros:
, que está no intervalo . - Avaliar nos candidatos (extremidades e ponto crítico):
- Conclusão para essa aresta: mínimo
em , ou seja no ponto (que já tínhamos como crítico interior — nota que fica também na fronteira do triângulo, pois ), e máximo na aresta é nos extremos e .
Passo 8
Juntar todos os candidatos e escolher máximo e mínimo absolutos.
- Lista de pontos testados e valores:
- Interior crítico:
com . - Vértices:
com ; com ; com . - Pontos críticos nas arestas:
com ; com . (Além de que aparece também na aresta .)
- Interior crítico:
- Comparando os valores: o menor valor encontrado é
em ; o maior valor encontrado é , atingido em e em . - Portanto o mínimo absoluto é
em e o máximo absoluto é em e .
Resposta
Mínimo absoluto:
em
Máximo absoluto: em
e em
Máximo absoluto: