Questão 19. Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de
no conjunto
indicado:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função
no conjunto
.\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- A função é
- O domínio é o retângulo
- A tarefa: encontrar os pontos em
onde atinge seu valor máximo absoluto e seu valor mínimo absoluto, e informar esses valores.
Passo 2
Estratégia e conceitos que vou usar (resumido e claro):
-
é compacto (fechado e limitado) e é contínua, logo pelo Teorema de Weierstrass atinge máximo e mínimo absolutos em . Isso significa que basta checar pontos críticos no interior e também as bordas (e cantos). - Pontos críticos (candidatos) são onde o gradiente é nulo:
. - Como
é produto de intervalos e é soma de termos que dependem só de e só de , isto é, com e , podemos também obter extremos analisando em e em separadamente — o máximo (mínimo) de será a soma do máximo (mínimo) de com o máximo (mínimo) de . Vou combinar as duas abordagens (gradiente + separabilidade) para ficar didático.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais e pontos críticos.
- Derivada parcial em
:
- Derivada parcial em
:
Resolver
:
No intervalo
as soluções para
são
Observação: pertence à borda direita de
, logo não existe ponto crítico no interior aberto
. Conseguimos, porém, os candidatos
,
,
(alguns estão na borda).
Observação:
Passo 4
Análise separada de
em
e de
em
.
- Para
: - Derivada
Zera em . A segunda derivada é Em temos , então é máximo local. Como o intervalo é , devemos comparar valores em (extremo esquerdo), e possivelmente outros pontos, mas não há outros críticos. Calcule: Assim em temos - Para
em : - Como
,
atinge em e em . Logo - Como
Passo 5
Uso da separabilidade para obter extremos de
. Argumento simples: para todo
,
com igualdade se
é ponto de máximo de
e
é ponto de máximo de
. Análogo para o mínimo. Assim:
- Máximo absoluto de
é
Isto ocorre quando
atinge
, isto é
, e
atinge
, isto é
. Portanto pontos de máximo:
e
.
- Mínimo absoluto de
é
Isto ocorre quando
(min de
) e
(min de
). Portanto ponto de mínimo:
.
Para conferir completude, podemos também avaliar
nos outros candidatos encontrados (bordas e cantos). Valores relevantes já calculados:
Comparando numericamentes (apenas para intuição):
é o maior;
é o menor. Assim as conclusões acima estão corretas.
Resposta
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto: