Questão 19. Determine o máximo e o mínimo (absolutos) de z=f(x ; y) no conjunto D indicado:
z=x e^{-x}-\cos y, D=[-1,1] \times[-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função \,z=f(x;y)\, no conjunto \,D=[-1,1]\times[-\pi,\pi].\n
Dados fornecidos:
  • A função é \,f(x,y)=x e^{-x}-\cos y.
  • O domínio é o retângulo \,D=\{(x,y)\mid -1\le x\le1,\\\ -\pi\le y\le\pi\}.
  • A tarefa: encontrar os pontos em D onde f atinge seu valor máximo absoluto e seu valor mínimo absoluto, e informar esses valores.

Passo 2

Estratégia e conceitos que vou usar (resumido e claro):
  • D é compacto (fechado e limitado) e f é contínua, logo pelo Teorema de Weierstrass f atinge máximo e mínimo absolutos em D. Isso significa que basta checar pontos críticos no interior e também as bordas (e cantos).
  • Pontos críticos (candidatos) são onde o gradiente é nulo: \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0).
  • Como D é produto de intervalos e f é soma de termos que dependem só de x e só de y, isto é, f(x,y)=g(x)+h(y) com g(x)=x e^{-x} e h(y)=-\cos y, podemos também obter extremos analisando g em [-1,1] e h em [-\pi,\pi] separadamente — o máximo (mínimo) de f será a soma do máximo (mínimo) de g com o máximo (mínimo) de h. Vou combinar as duas abordagens (gradiente + separabilidade) para ficar didático.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais e pontos críticos.
  • Derivada parcial em x:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{-x}-\cos y\big) = e^{-x}-x e^{-x}=e^{-x}(1-x).
  • Derivada parcial em y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{-x}-\cos y\big)=\sin y.
Resolver \nabla f=(0,0):
e^{-x}(1-x)=0\quad\Rightarrow\quad 1-x=0\quad\Rightarrow\quad x=1.
\sin y=0\quad\Rightarrow\quad y=k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [-\pi,\pi] as soluções para y são \,y=-\pi,\,0,\,\pi.
Observação: x=1 pertence à borda direita de D, logo não existe ponto crítico no interior aberto (-1,1)\times(-\pi,\pi). Conseguimos, porém, os candidatos (1,-\pi), (1,0), (1,\pi) (alguns estão na borda).

Passo 4

Análise separada de g(x)=x e^{-x} em [-1,1] e de h(y)=-\cos y em [-\pi,\pi].
  • Para g(x)=x e^{-x}:
    • Derivada
    g'(x)=e^{-x}(1-x).Zera em x=1. A segunda derivada é g''(x)=-e^{-x}(2-x).Em x=1 temos g''(1)=-e^{-1}(1)<0, então x=1 é máximo local. Como o intervalo é [-1,1], devemos comparar valores em x=-1 (extremo esquerdo), x=1 e possivelmente outros pontos, mas não há outros críticos. Calcule: g(1)=1\cdot e^{-1}=e^{-1}, \qquad g(0)=0\cdot e^{0}=0, \qquad g(-1)=-1\cdot e^{1}=-e.Assim em [-1,1] temos \max_{[-1,1]} g(x)=g(1)=e^{-1},\qquad \min_{[-1,1]} g(x)=g(-1)=-e.
  • Para h(y)=-\cos y em [-\pi,\pi]:
    • Como \cos y\in[-1,1],
    h(y)=-\cos y\in[-1,1]. \cos y atinge 1 em y=0 e -1 em y=\pm\pi. Logo \min_{[-\pi,\pi]} h(y)=h(0)=-1,\qquad \max_{[-\pi,\pi]} h(y)=h(\pm\pi)=1.

Passo 5

Uso da separabilidade para obter extremos de f. Argumento simples: para todo (x,y)\in D,
f(x,y)=g(x)+h(y)\le \max_{[-1,1]} g + \max_{[-\pi,\pi]} h,
com igualdade se x é ponto de máximo de g e y é ponto de máximo de h. Análogo para o mínimo. Assim:
  • Máximo absoluto de f é
\max f = \max g + \max h = e^{-1} + 1.
Isto ocorre quando x atinge e^{-1}, isto é x=1, e y atinge 1, isto é y=\pm\pi. Portanto pontos de máximo: (1,\pi) e (1,-\pi).
  • Mínimo absoluto de f é
\min f = \min g + \min h = -e + (-1) = -e-1.
Isto ocorre quando x=-1 (min de g) e y=0 (min de h). Portanto ponto de mínimo: (-1,0).
Para conferir completude, podemos também avaliar f nos outros candidatos encontrados (bordas e cantos). Valores relevantes já calculados:
f(1,\pm\pi)=e^{-1}+1,\quad f(1,0)=e^{-1}-1,\quad f(-1,0)=-e-1,\quad f(-1,\pm\pi)=-e+1.
Comparando numericamentes (apenas para intuição): e^{-1}+1\approx1,3679 é o maior; -e-1\approx-3,7183 é o menor. Assim as conclusões acima estão corretas.

Resposta

Máximo absoluto: \,f(1,\pm\pi)=e^{-1}+1.
Mínimo absoluto: \,f(-1,0)=-e-1.

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