Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais sn, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 1(2 n-1)(2 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais da série sumn=1^+infty 1(2n-1)(2n+1). Também precisamos achar uma fórmula geral para a soma parcial sn em função de n e determinar se a série infinita converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da soma parcial sn. A soma parcial sn é a soma dos n primeiros termos da série. Então:
Para n = 1:
s1 = 1(2 cdot 1 - 1)(2 cdot 1 + 1) = 11 cdot 3 = 13
Para n = 2:
s2 = s1 + 1(2 cdot 2 - 1)(2 cdot 2 + 1) = 13 + 13 cdot 5 = 13 + 115 = 615 = 25
Para n = 3:
s3 = s2 + 1(2 cdot 3 - 1)(2 cdot 3 + 1) = 25 + 15 cdot 7 = 25 + 135 = 1435 + 135 = 1535 = 37
Para n = 4:
s4 = s3 + 1(2 cdot 4 - 1)(2 cdot 4 + 1) = 37 + 17 cdot 9 = 37 + 163 = 2763 + 163 = 2863 = 49

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma fórmula geral para sn em termos de n. Observando os termos da série, vemos que:
1(2n-1)(2n+1) = 12 ( 12n-1 - 12n+1 )
Isso é conhecido como decomposição em frações parciais. Então:
sn = sumk=1^n 1(2k-1)(2k+1) = 12 sumk=1^n ( 12k-1 - 12k+1 )

Passo 4

Vamos somar os termos telescópicos:
sn = 12 ( ( 11 - 13 ) + ( 13 - 15 ) + ( 15 - 17 ) + dots + ( 12n-1 - 12n+1 ) )
Perceba que vários termos se cancelam:
sn = 12 ( 1 - 12n+1 ) = 12 - 12(2n+1) = n2n+1
Então, a fórmula geral para a soma parcial é:
sn = n2n+1

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, analisamos o limite de sn quando n tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série infinita sumn=1^+infty 1(2n-1)(2n+1) é convergente, e a soma da série é 12.

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