Nos Exercícios de 1 a 8, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, e obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais da série
. Também precisamos achar uma fórmula geral para a soma parcial
em função de
e determinar se a série infinita converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da soma parcial
. A soma parcial
é a soma dos
primeiros termos da série. Então:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma fórmula geral para
em termos de
. Observando os termos da série, vemos que:
Isso é conhecido como decomposição em frações parciais. Então:
Passo 4
Vamos somar os termos telescópicos:
Perceba que vários termos se cancelam:
Então, a fórmula geral para a soma parcial é:
Passo 5
Agora, vamos verificar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série infinita
é convergente, e a soma da série é
.