Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver uma EDO linear não-homogênea com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados. Então, a matéria que vamos mexer aqui envolve equações diferenciais lineares e técnicas para encontrar soluções específicas quando a equação não é homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
. A equação não é homogênea porque há termos além de
e
no lado direito.
Passo 3
O próximo passo é resolver a equação homogênea associada. Isso significa que ignoramos o lado direito (o que está causando a não-homogeneidade) e resolvemos:
Passo 4
Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica para
é:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com as raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com base nas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não-homogênea:
O lado direito é composto por
(uma função polinomial) e
(uma função trigonométrica).
Passo 7
Vamos dividir a busca da solução particular em duas partes: uma para
e outra para
.
Para
:
Uma função polinomial de primeiro grau sugere que nossa tentativa de solução particular será da forma:
Para
:
Como
já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar duplicação:
Passo 8
Agora, vamos substituir
e
na equação original para determinar os coeficientes
,
,
, e
.
Para
:
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então,
Para
:
Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando:
Substituindo na equação:
Igualando ao lado direito
:
Então,
Portanto,
Passo 9
Agora, juntamos as soluções particulares:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.