Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime+4 y=2 x+cos (2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver uma EDO linear não-homogênea com coeficientes constantes usando o método dos coeficientes indeterminados. Então, a matéria que vamos mexer aqui envolve equações diferenciais lineares e técnicas para encontrar soluções específicas quando a equação não é homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
y'' + 4y = 2x + cos(2x)
Aqui, y'' é a segunda derivada de y em relação a x. A equação não é homogênea porque há termos além de y'' e y no lado direito.

Passo 3

O próximo passo é resolver a equação homogênea associada. Isso significa que ignoramos o lado direito (o que está causando a não-homogeneidade) e resolvemos:
y'' + 4y = 0

Passo 4

Para resolver a equação homogênea, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica para y'' + 4y = 0 é:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo para r:
r^2 = -4 r = pm 2i

Passo 5

Com as raízes complexas r = pm 2i, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)
Aqui, C1 e C2 são constantes que determinamos com base nas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação não-homogênea:
y'' + 4y = 2x + cos(2x)
O lado direito é composto por 2x (uma função polinomial) e cos(2x) (uma função trigonométrica).

Passo 7

Vamos dividir a busca da solução particular em duas partes: uma para 2x e outra para cos(2x).
Para 2x:
Uma função polinomial de primeiro grau sugere que nossa tentativa de solução particular será da forma:
yp1(x) = Ax + B
Para cos(2x):
Como cos(2x) já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por x para evitar duplicação:
yp2(x) = x(C cos(2x) + D sin(2x))

Passo 8

Agora, vamos substituir yp1(x) e yp2(x) na equação original para determinar os coeficientes A, B, C, e D.
Para yp1(x) = Ax + B:
Calculamos as derivadas:
y'p1 = A y''p1 = 0
Substituindo na equação:
0 + 4(Ax + B) = 2x 4Ax + 4B = 2x
Igualando os coeficientes:
4A = 2 Rightarrow A = 12 4B = 0 Rightarrow B = 0
Então,
yp1(x) = 12x
Para yp2(x) = x(C cos(2x) + D sin(2x)):
Calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
y'p2 = C cos(2x) + D sin(2x) + x(-2C sin(2x) + 2D cos(2x))
Segunda derivada:
y''p2 = -2C sin(2x) + 2D cos(2x) - 2C sin(2x) + 2D cos(2x) + x(-4C cos(2x) - 4D sin(2x))
Simplificando:
y''p2 = -4C sin(2x) + 4D cos(2x) - 4Cx cos(2x) - 4Dx sin(2x)
Substituindo na equação:
y''p2 + 4yp2 = -4C sin(2x) + 4D cos(2x) - 4Cx cos(2x) - 4Dx sin(2x) + 4x(C cos(2x) + D sin(2x)) = -4C sin(2x) + 4D cos(2x)
Igualando ao lado direito cos(2x):
-4C sin(2x) + 4D cos(2x) = cos(2x)
Então,
-4C = 0 Rightarrow C = 0 4D = 1 Rightarrow D = 14
Portanto,
yp2(x) = x (0 cdot cos(2x) + 14 sin(2x)) = 14x sin(2x)

Passo 9

Agora, juntamos as soluções particulares:
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = 12x + 14x sin(2x)

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + 12x + 14x sin(2x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) + 12x + 14x sin(2x)
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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