A aceleração devido a gravidade G varia com a altitude em relação à superfície terreste. G é função de r (a distância ao centro da terra) e, é dada por:
G(r)=l g M rR^3 se r= R
onde R é o raio da terra, M a massa da terra e g a constante gravitacional. G é contínua? Esboce o gráfico de G.

Passo 1

A questão define a aceleração gravitacional G(r) de forma piecewise em função da distância r ao centro da Terra e pede para avaliar se G é contínua em r=R (o raio da Terra) e, em seguida, esboçar o gráfico de G(r). Vamos usar o conceito de limites laterais e a definição de continuidade, além de entender qualitativamente como fica cada ramo da função.

Passo 2

Para ver se G é contínua em r=R, calculamos o limite pela esquerda (do interior da Terra). Quando r, temos
G(r)=g,M,rR^3
Logo, o limite quando rto R^- é
G(R^-)=g,M,RR^3=g,MR^2.

Passo 3

Agora calculamos o limite pela direita (do exterior da Terra). Para r>= R, vale
G(r)=g,Mr^2
e o limite quando rto R^+ é
G(R^+)=g,MR^2.

Passo 4

Como os limites laterais coincidem e são iguais a G(R) (podemos definir G(R)=gM/R^2), concluímos que G(r) é contínua em r=R.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de G(r):
– Para 0<= r, G(r) cresce linearmente desde G(0)=0 até G(R)=gM/R^2.
– Para r>= R, G(r) decresce como uma hipérbole, seguindo gM/r^2 e partindo de gM/R^2 em r=R.
No eixo r (horizontal) e G(r) (vertical), teremos uma reta ascendente até r=R e, a partir daí, uma curva que cai rápido e tende a zero quando rtoinfty.

Resposta

Sim. A função G(r) é contínua em r=R porque G(R^-)=G(R^+)=gM/R^2. O gráfico é uma reta de inclinação gM/R^3 de r=0 a r=R, atingindo gM/R^2, seguida de uma curva hiperbólica decrescente gM/r^2 para r>R.

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