A aceleração devido a gravidade
varia com a altitude em relação à superfície terreste.
é função de
(a distância ao centro da terra) e, é dada por:
onde
é o raio da terra,
a massa da terra e
a constante gravitacional.
é contínua? Esboce o gráfico de
.
Passo 1
A questão define a aceleração gravitacional
de forma piecewise em função da distância
ao centro da Terra e pede para avaliar se
é contínua em
(o raio da Terra) e, em seguida, esboçar o gráfico de
. Vamos usar o conceito de limites laterais e a definição de continuidade, além de entender qualitativamente como fica cada ramo da função.
Passo 2
Para ver se
é contínua em
, calculamos o limite pela esquerda (do interior da Terra). Quando
, temos
Logo, o limite quando
Passo 3
Agora calculamos o limite pela direita (do exterior da Terra). Para
, vale
e o limite quando
Passo 4
Como os limites laterais coincidem e são iguais a
(podemos definir
), concluímos que
é contínua em
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico de
:
– Para ,
cresce linearmente desde
até
.
– Para ,
decresce como uma hipérbole, seguindo
e partindo de
em
.
No eixo (horizontal) e
(vertical), teremos uma reta ascendente até
e, a partir daí, uma curva que cai rápido e tende a zero quando
.
– Para
– Para
No eixo
Resposta
Sim. A função
é contínua em
porque
. O gráfico é uma reta de inclinação
de
a
, atingindo
, seguida de uma curva hiperbólica decrescente
para
.