Nos exercícios, expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele fornece:
- Pede para calcular a integral indefinida
. - A função integranda é a função racional
. - Observação importante (dados extraídos do integrando): o denominador se anula em
, logo há singularidades nesses pontos — a primitiva que encontrarmos valerá em intervalos onde .
Passo 2
Fatorar o denominador para preparar a decomposição em frações parciais.
- Note que
. - Assim queremos escrever
como soma de frações simples com denominadores e .
Passo 3
Colocar a forma de frações parciais e determinar os coeficientes.
- Assumir a decomposição
onde
- Desenvolvendo:
- Igualando coeficientes das potências de
:
- Da segunda equação vem
, logo
.]
Passo 4
Reescrever o integrando como soma de frações simples pronta para integrar.
- Substituindo
e obtemos
- Portanto
Passo 5
Calcular as integrais simples separadamente, explicando a técnica (substituição elemental).
- Para
: faça . Então , logo
Explicação: usamos que
e o sinal menos aparece porque
.
- Para
: faça . Então , logo
- Juntando com os fatores
:
Passo 6
Simplificar o resultado e comentar sobre domínio e formas alternativas.
- Usando propriedades dos logaritmos:
- Observação sobre domínio: essa primitiva é válida em qualquer intervalo onde
. A expressão com o log absoluto cobre os ramos reais em , e (cada intervalo podendo ter uma constante de integração possivelmente diferente). - Forma alternativa: como lembrete teórico, para
vale a igualdade , então outra forma conveniente da primitiva é (essa forma real é usada para ).