Nos exercícios, expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais.
\int \frac{d x}{1-x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele fornece:
  • Pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{dx}{1-x^{2}}.
  • A função integranda é a função racional \displaystyle \frac{1}{1-x^{2}}.
  • Observação importante (dados extraídos do integrando): o denominador se anula em x=\pm1, logo há singularidades nesses pontos — a primitiva que encontrarmos valerá em intervalos onde x\neq\pm1.

Passo 2

Fatorar o denominador para preparar a decomposição em frações parciais.
  • Note que \displaystyle 1-x^{2}=(1-x)(1+x).
  • Assim queremos escrever \displaystyle \frac{1}{1-x^{2}} como soma de frações simples com denominadores 1-x e 1+x.

Passo 3

Colocar a forma de frações parciais e determinar os coeficientes.
  • Assumir a decomposição
\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x},
onde A\) e \(B\) são constantes a achar. - Multiplicando os dois lados por \((1-x)(1+x)\) obtemos \[1 = A(1+x)+B(1-x).
  • Desenvolvendo:
1 = (A+B) + (A-B)\,x.
  • Igualando coeficientes das potências de x:
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] A-B = 0. \end{cases}
  • Da segunda equação vem A=B\]. Substituindo na primeira: \(2A=1, logo A=B=\dfrac{1}{2}.]

Passo 4

Reescrever o integrando como soma de frações simples pronta para integrar.
  • Substituindo A e B obtemos
\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+x}.
  • Portanto
\int \frac{dx}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{1-x}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{1+x}.

Passo 5

Calcular as integrais simples separadamente, explicando a técnica (substituição elemental).
  • Para \displaystyle \int\frac{dx}{1-x}: faça u=1-x. Então du=-dx, logo
\int\frac{dx}{1-x}=-\int\frac{du}{u}=-\ln|u|+C=-\ln|1-x|+C.
Explicação: usamos que \displaystyle\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C e o sinal menos aparece porque du=-dx.
  • Para \displaystyle \int\frac{dx}{1+x}: faça v=1+x. Então dv=dx, logo
\int\frac{dx}{1+x}=\int\frac{dv}{v}=\ln|v|+C=\ln|1+x|+C.
  • Juntando com os fatores 1/2:
\int \frac{dx}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\big(-\ln|1-x|+\ln|1+x|\big)+C.

Passo 6

Simplificar o resultado e comentar sobre domínio e formas alternativas.
  • Usando propriedades dos logaritmos:
\frac{1}{2}\big(-\ln|1-x|+\ln|1+x|\big)=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C.
  • Observação sobre domínio: essa primitiva é válida em qualquer intervalo onde x\neq\pm1. A expressão com o log absoluto cobre os ramos reais em (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty) (cada intervalo podendo ter uma constante de integração possivelmente diferente).
  • Forma alternativa: como lembrete teórico, para |x|<1 vale a igualdade \operatorname{arctanh}x=\dfrac{1}{2}\ln\!\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right), então outra forma conveniente da primitiva é \operatorname{arctanh}x+C (essa forma real é usada para |x|<1).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C

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