Exercício 142. Mostre as seguintes propriedades da radiciação:
Propriedades 7.1. Seja n natural, então a funçāo \sqrt[n]{ } tem as segumtes propriedades:
  1. Para todo x>0, \sqrt[n]{x}>0.
  2. Se x<y entāo \sqrt[n]{x}<\sqrt[n]{y}.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos duas propriedades da função \sqrt[n]{\cdot}, com n natural. As perguntas são exatamente estas duas afirmações a provar:
  1. Para todo x>0, tem-se \sqrt[n]{x} > 0.
  2. Se x<y então \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}.
Informações dadas e convenções que vou usar (tiradas do enunciado / uso habitual):
  • n é um número natural (isto é, n\in\{1,2,3,\dots\}).
  • Por \sqrt[n]{x} entende-se a raiz n-ésima principal de x, isto é, o número real não-negativo u tal que u^n = x (quando tal u existe).
    Nenhuma outra informação numérica foi dada.

Passo 2

Explicação da definição que vou usar (muito importante para entender as provas).
  • Definição: para x\ge 0 existe um único número real u\ge 0 tal que u^n = x; esse u chamamos de \sqrt[n]{x} (a raiz n-ésima principal).
    Observação: para x>0 esse u não pode ser 0 (pois 0^n=0), e para x=0 a raiz é 0. Esta definição é padrão e é a que justifica a existência da função \sqrt[n]{\cdot} sobre [0,\infty).
  • Consequência imediata da definição: \sqrt[n]{x} é sempre um número real não-negativo quando x\ge 0.

Passo 3

Primeiro lembrete técnico (unicidade da raiz não-negativa). Vou mostrar que, se a\ge0 e b\ge0 satisfazem a^n=b^n, então a=b. Isso evita ambiguidades.
  • Calcule a diferença:
b^n-a^n=(b-a)\bigl(b^{n-1}+b^{n-2}a+\cdots+ba^{n-2}+a^{n-1}\bigr).
  • Se b^n-a^n=0, então o produto no lado direito é zero. O segundo fator é uma soma de n termos, cada um não-negativo; como a,b\ge0 e pelo menos um termo é positivo quando a\ne b, esse segundo fator é estritamente positivo sempre que a\ne b. Assim só resta b-a=0. Logo a=b.
  • Conclusão: a raiz não-negativa é única.

Passo 4

Prova da propriedade 1: para todo x>0, \sqrt[n]{x} > 0.
  • Pela definição (Passo 2) \sqrt[n]{x} é não-negativa, isto é, \sqrt[n]{x}\ge0.
  • Se fosse \sqrt[n]{x}=0, então 0^n=0 e teríamos x=0, contradizendo x>0.
  • Portanto necessariamente \sqrt[n]{x}>0.
  • Resumindo: a raiz principal não-negativa existe e não pode ser zero quando x>0, então é positiva. (Pronto, propriedade 1 demonstrada.)

Passo 5

Preparação para a propriedade 2: mostrar que a função t\mapsto t^n é estritamente crescente em t>0. Este é o ponto chave para obter monotonicidade da raiz.
  • Tome 0<a<b. Então
b^n-a^n=(b-a)\bigl(b^{n-1}+b^{n-2}a+\cdots+ba^{n-2}+a^{n-1}\bigr).
  • Aqui b-a>0. Cada termo da soma do segundo fator é positivo porque a>0 e b>0. Logo o segundo fator é estritamente positivo. Assim b^n-a^n>0, ou seja a^n<b^n.
  • Conclusão: se 0<a<b então a^n<b^n. Portanto a função t\mapsto t^n é estritamente crescente no intervalo (0,\infty).

Passo 6

Prova da propriedade 2: se x<y então \sqrt[n]{x}<\sqrt[n]{y}.
  • Seja u=\sqrt[n]{x} e v=\sqrt[n]{y}. Pelas definições (Passo 2) temos u\ge0, v\ge0, u^n=x e v^n=y.
  • Pela hipótese x<y tem-se u^n<v^n.
  • Pelo resultado do Passo 5 (a função potência é estritamente crescente em (0,\infty)), a desigualdade u^n<v^n implica u<v, desde que u,v>0. Se algum dos dois fosse zero, isso seria tratado facilmente: não pode ter v=0 porque v^n=y> x\ge0 e se y>0 então v>0 (pela propriedade 1 já provada); se x=0 então u=0 e 0=v não ocorre porque y>0 by hypothesis x<y. Em suma, as hipóteses garantem u,v>0 nos casos relevantes.
  • Portanto \sqrt[n]{x}=u < v = \sqrt[n]{y}.
  • Isto prova que \sqrt[n]{\cdot} é estritamente crescente: x<y implica \sqrt[n]{x}<\sqrt[n]{y}.

Passo 7

Resumo final da argumentação (para fixar): a raiz n-ésima principal é por definição não-negativa; para x>0 ela não pode ser zero, portanto é positiva (propriedade 1). A função potência t\mapsto t^n é estritamente crescente em t>0 (fato mostrado por fatoração), e isso garante que sua inversa — a função x\mapsto\sqrt[n]{x} definida sobre x\ge0 — também é estritamente crescente, o que dá a propriedade 2.

Resposta

  1. Para todo x>0, \sqrt[n]{x}>0.
  2. Se x<y então \sqrt[n]{x}<\sqrt[n]{y}.

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