Exercício 142. Mostre as seguintes propriedades da radiciação:
Propriedades 7.1. Seja n natural, então a funçāo
tem as segumtes propriedades:
- Para todo
.
- Se
entāo
.
Propriedades 7.1. Seja n natural, então a funçāo
Passo 1
O enunciado pede que mostremos duas propriedades da função
, com
natural. As perguntas são exatamente estas duas afirmações a provar:
- Para todo
, tem-se . - Se
então .
Informações dadas e convenções que vou usar (tiradas do enunciado / uso habitual):
-
é um número natural (isto é, ). - Por
entende-se a raiz -ésima principal de , isto é, o número real não-negativo tal que (quando tal existe).
Nenhuma outra informação numérica foi dada.
Passo 2
Explicação da definição que vou usar (muito importante para entender as provas).
- Definição: para
existe um único número real tal que ; esse chamamos de (a raiz -ésima principal).
Observação: paraesse não pode ser (pois ), e para a raiz é . Esta definição é padrão e é a que justifica a existência da função sobre . - Consequência imediata da definição:
é sempre um número real não-negativo quando .
Passo 3
Primeiro lembrete técnico (unicidade da raiz não-negativa). Vou mostrar que, se
e
satisfazem
, então
. Isso evita ambiguidades.
- Calcule a diferença:
- Se
, então o produto no lado direito é zero. O segundo fator é uma soma de termos, cada um não-negativo; como e pelo menos um termo é positivo quando , esse segundo fator é estritamente positivo sempre que . Assim só resta . Logo . - Conclusão: a raiz não-negativa é única.
Passo 4
Prova da propriedade 1: para todo
,
.
- Pela definição (Passo 2)
é não-negativa, isto é, . - Se fosse
, então e teríamos , contradizendo . - Portanto necessariamente
. - Resumindo: a raiz principal não-negativa existe e não pode ser zero quando
, então é positiva. (Pronto, propriedade 1 demonstrada.)
Passo 5
Preparação para a propriedade 2: mostrar que a função
é estritamente crescente em
. Este é o ponto chave para obter monotonicidade da raiz.
- Tome
. Então
- Aqui
. Cada termo da soma do segundo fator é positivo porque e . Logo o segundo fator é estritamente positivo. Assim , ou seja . - Conclusão: se
então . Portanto a função é estritamente crescente no intervalo .
Passo 6
Prova da propriedade 2: se
então
.
- Seja
e . Pelas definições (Passo 2) temos , , e . - Pela hipótese
tem-se . - Pelo resultado do Passo 5 (a função potência é estritamente crescente em
), a desigualdade implica , desde que . Se algum dos dois fosse zero, isso seria tratado facilmente: não pode ter porque e se então (pela propriedade 1 já provada); se então e não ocorre porque by hypothesis . Em suma, as hipóteses garantem nos casos relevantes. - Portanto
. - Isto prova que
é estritamente crescente: implica .
Passo 7
Resumo final da argumentação (para fixar): a raiz
-ésima principal é por definição não-negativa; para
ela não pode ser zero, portanto é positiva (propriedade 1). A função potência
é estritamente crescente em
(fato mostrado por fatoração), e isso garante que sua inversa — a função
definida sobre
— também é estritamente crescente, o que dá a propriedade 2.
Resposta
-
Para todo
, . -
Se
então .