Seja f(x, y)=∛(x³+y³) , determine
fₓ(0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}} e pede para determinar a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0), ou seja f_{x}(0,0).
Informações relevantes:
  • A função está definida por f(x,y)=(x^{3}+y^{3})^{1/3}.
  • Queremos a derivada parcial em x no ponto (0,0), isto é o limite que define f_{x}(0,0).

Passo 2

Lembrete didático: a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é definida por
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}.
Isso significa que, para calcular f_{x}(0,0), variamos apenas a coordenada x (por h) mantendo y fixo em 0, e avaliamos o limite do quociente incremental quando h tende a zero.

Passo 3

Calcular f(h,0) explicitamente. Substituindo x=h e y=0 na definição de f temos
f(h,0)=\sqrt[3]{h^{3}+0^{3}}=\sqrt[3]{h^{3}}.
Para números reais, a função \sqrt[3]{\cdot} é a inversa da função t\mapsto t^{3}, portanto \sqrt[3]{h^{3}}=h para todo h\in\mathbb{R}.

Passo 4

Montar o quociente incremental usando o resultado anterior. Como f(0,0)=\sqrt[3]{0+0}=0, temos para h\neq 0
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{h-0}{h}=1.

Passo 5

Tomar o limite quando h\to 0. Como o quociente incremental é identicamente 1 para todo h\neq 0, o limite é
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}1=1.
Portanto a derivada parcial existe e vale 1.

Resposta

1

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