Nos exercicios de I a 4, determine se a fórmula define y como uma sunção de r. Caso a resposta seja nāo, justifique.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar se essa fórmula define
como uma função de
. Informações relevantes fornecidas:
- A equação relaciona
e . - Há um gráfico associado (parábola com vértice na origem abrindo para a direita) que acompanha o enunciado.
- Pergunta: “a fórmula define
como função de ?” (ou seja, para cada existe um único ?).
Passo 2
Lembrete didático: o que significa "definir
como função de
"?
- Dizer que
é função de significa que existe uma regra tal que, para cada valor no domínio, existe exatamente um valor associado. - Em termos práticos: para cada
deve haver um único . Se algum corresponder a dois ou mais valores de , então a relação NÃO é uma função . - Teste gráfico simples (vertical line test): uma curva no plano representa
como função de se e somente se toda reta vertical intercepta a curva em no máximo um ponto.
Passo 3
Resolver algebricamente a equação para
(passo a passo, explicando cada operação):
- Começar da equação dada:
- Isolar
dividindo ambos os lados por :
- Para obter
aplicamos a raiz quadrada em ambos os lados. Ao tirar raiz quadrada de ambos os lados devemos lembrar que a raiz quadrada de um quadrado dá dois sinais, positivo e negativo. Assim:
- Observações sobre domínio: a expressão
exige que , logo . Para não há soluções reais ; para há uma única solução ; para há duas soluções reais, uma positiva e outra negativa.
Passo 4
Conclusão algébrica e exemplo numérico:
- Como para um dado
a solução dá e , existem dois valores de associados ao mesmo . Isso viola a definição de função (unicidade do valor de para cada ). - Exemplo concreto: para
,
ou seja, os pontos
e
pertencem à curva — o mesmo
dá dois
distintos.
Passo 5
Justificação gráfica (vertical line test):
- O gráfico é uma parábola com vértice em
que se abre para a direita e é simétrica em relação ao eixo . - Uma reta vertical
constante com valor positivo corta essa parábola em dois pontos (um com e outro com ). Portanto a curva falha no teste da reta vertical, confirmando que a relação não é uma função sem restrição.
Passo 6
Comentário final sobre como transformar a relação numa função:
- Se for imposta uma restrição de ramo (escolher apenas o sinal
ou apenas o sinal ), então obtemos uma função. Por exemplo,
ou
são funções de
definidas para
. Sem essa restrição, a relação original NÃO define
unicamente em função de
.
Resposta
Não — a equação implica
, de modo que cada
corresponde a dois valores de
(logo não é função de
sem restringir o sinal).