Nos exercicios de I a 4, determine se a fórmula define y como uma sunção de r. Caso a resposta seja nāo, justifique.
x=2 y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x = 2 y^{2}
e pede para determinar se essa fórmula define y como uma função de x. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação relaciona x e y.
  • Há um gráfico associado (parábola com vértice na origem abrindo para a direita) que acompanha o enunciado.
  • Pergunta: “a fórmula define y como função de x?” (ou seja, para cada x existe um único y?).

Passo 2

Lembrete didático: o que significa "definir y como função de x"?
  • Dizer que y é função de x significa que existe uma regra y=f(x) tal que, para cada valor x no domínio, existe exatamente um valor y associado.
  • Em termos práticos: para cada x deve haver um único y. Se algum x corresponder a dois ou mais valores de y, então a relação NÃO é uma função y=f(x).
  • Teste gráfico simples (vertical line test): uma curva no plano representa y como função de x se e somente se toda reta vertical intercepta a curva em no máximo um ponto.

Passo 3

Resolver algebricamente a equação para y (passo a passo, explicando cada operação):
  • Começar da equação dada:
x = 2 y^{2}.
  • Isolar y^{2} dividindo ambos os lados por 2:
y^{2} = \frac{x}{2}.
  • Para obter y aplicamos a raiz quadrada em ambos os lados. Ao tirar raiz quadrada de ambos os lados devemos lembrar que a raiz quadrada de um quadrado dá dois sinais, positivo e negativo. Assim:
y = \pm \sqrt{\frac{x}{2}}.
  • Observações sobre domínio: a expressão \sqrt{\frac{x}{2}} exige que \frac{x}{2}\ge 0, logo x\ge 0. Para x<0 não há soluções reais y; para x=0 há uma única solução y=0; para x>0 há duas soluções reais, uma positiva e outra negativa.

Passo 4

Conclusão algébrica e exemplo numérico:
  • Como para um dado x>0 a solução dá y=\sqrt{x/2} e y=-\sqrt{x/2}, existem dois valores de y associados ao mesmo x. Isso viola a definição de função y=f(x) (unicidade do valor de y para cada x).
  • Exemplo concreto: para x=2,
y=\pm\sqrt{\frac{2}{2}}=\pm 1,
ou seja, os pontos (2,1) e (2,-1) pertencem à curva — o mesmo x=2 dá dois y distintos.

Passo 5

Justificação gráfica (vertical line test):
  • O gráfico é uma parábola com vértice em (0,0) que se abre para a direita e é simétrica em relação ao eixo x.
  • Uma reta vertical x= constante com valor positivo corta essa parábola em dois pontos (um com y>0 e outro com y<0). Portanto a curva falha no teste da reta vertical, confirmando que a relação não é uma função y=f(x) sem restrição.

Passo 6

Comentário final sobre como transformar a relação numa função:
  • Se for imposta uma restrição de ramo (escolher apenas o sinal + ou apenas o sinal -), então obtemos uma função. Por exemplo,
y = +\sqrt{\frac{x}{2}}
ou
y = -\sqrt{\frac{x}{2}}
são funções de x definidas para x\ge 0. Sem essa restrição, a relação original NÃO define y unicamente em função de x.

Resposta

Não — a equação implica \displaystyle y=\pm\sqrt{\frac{x}{2}}, de modo que cada x>0 corresponde a dois valores de y (logo não é função de x sem restringir o sinal).

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