Nos exercicios de I a 4, determine se a fórmula define y como uma sunção de r. Caso a resposta seja nāo, justifique.
y=\sqrt{x-4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a fórmula y=\sqrt{x-4} define y como uma função de x. As informações dadas são a expressão y=\sqrt{x-4} e um esboço de gráfico (incluído no enunciado).

Passo 2

Para determinar se y é uma função de x, precisamos verificar se cada valor de x no domínio corresponde a um único valor de y. Ou seja, não pode haver um mesmo x que gere dois ou mais valores possíveis de y.

Passo 3

Primeiro, determinamos o domínio da expressão. A raiz quadrada real \sqrt{\cdot} só está definida para números não negativos. Portanto, devemos exigir que o que está dentro da raiz seja \ge 0. Matematicamente:
x-4 \ge 0.
Somando 4 dos dois lados:
x \ge 4.
Logo, o domínio da expressão é o intervalo [4,\infty). Isso significa que somente valores de x maiores ou iguais a 4 produzem um y real pela fórmula dada.

Passo 4

O símbolo \sqrt{\cdot} representa a raiz quadrada principal, que é o número não negativo cujo quadrado é o argumento. Em outras palavras, \sqrt{a} é sempre o valor não negativo que satisfaz (\sqrt{a})^2=a. Por exemplo, \sqrt{9}=3 (e não -3). Portanto, para cada x\ge 4, a expressão \sqrt{x-4} produz exatamente um valor não negativo de y.

Passo 5

Como para cada x\ge 4 a fórmula dá exatamente um número \sqrt{x-4} (o não-negativo), a regra atribui a cada x um único y. Isso satisfaz a definição de função. Logo, sim, y=\sqrt{x-4} define y como função de x.

Passo 6

Exemplos numéricos:
  • Se x=4, então y=\sqrt{4-4}=\sqrt{0}=0.
  • Se x=5, então y=\sqrt{5-4}=\sqrt{1}=1.
  • Se x=13, então y=\sqrt{13-4}=\sqrt{9}=3.
    Em todos esses casos, cada x resulta em exatamente um y.

Passo 7

A equação y^2=x-4 NÃO define y como função de x sem cuidado, porque a partir de y^2=x-4 obteríamos y=\pm\sqrt{x-4}, e então um mesmo x\ge4 teria dois valores possíveis de y (positivo e negativo). Já a expressão y=\sqrt{x-4} usa explicitamente a raiz principal (só o sinal positivo), por isso é uma função.

Resposta

Sim. y=\sqrt{x-4} define y como função de x; o domínio é [4,\infty) e a imagem (valores possíveis de y) é [0,\infty).

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