Nos exercicios de I a 4, determine se a fórmula define y como uma sunção de r. Caso a resposta seja nāo, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a fórmula
define
como uma função de
. As informações dadas são a expressão
e um esboço de gráfico (incluído no enunciado).
Passo 2
Para determinar se
é uma função de
, precisamos verificar se cada valor de
no domínio corresponde a um único valor de
. Ou seja, não pode haver um mesmo
que gere dois ou mais valores possíveis de
.
Passo 3
Primeiro, determinamos o domínio da expressão. A raiz quadrada real
só está definida para números não negativos. Portanto, devemos exigir que o que está dentro da raiz seja
. Matematicamente:
Somando
dos dois lados:
Logo, o domínio da expressão é o intervalo
. Isso significa que somente valores de
maiores ou iguais a
produzem um
real pela fórmula dada.
Passo 4
O símbolo
representa a raiz quadrada principal, que é o número não negativo cujo quadrado é o argumento. Em outras palavras,
é sempre o valor não negativo que satisfaz
. Por exemplo,
(e não
). Portanto, para cada
, a expressão
produz exatamente um valor não negativo de
.
Passo 5
Como para cada
a fórmula dá exatamente um número
(o não-negativo), a regra atribui a cada
um único
. Isso satisfaz a definição de função. Logo, sim,
define
como função de
.
Passo 6
Exemplos numéricos:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Em todos esses casos, cadaresulta em exatamente um .
Passo 7
A equação
NÃO define
como função de
sem cuidado, porque a partir de
obteríamos
, e então um mesmo
teria dois valores possíveis de
(positivo e negativo). Já a expressão
usa explicitamente a raiz principal (só o sinal positivo), por isso é uma função.
Resposta
Sim.
define
como função de
; o domínio é
e a imagem (valores possíveis de
) é
.