Exercícios integrais
c)
c)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedem para calcular a integral indefinida
. - Informação dada: a função a integrar é
. Não há valores nem outras condições (é uma primitiva geral).
Passo 2
Decidindo o caminho (sem resolver ainda): duas ideias naturais para integrar
são (i) fazer uma substituição
ou (ii) expandir o quadrado e integrar termo a termo. Vou escolher expandir, porque a substituição direta não simplifica imediatamente (pois
e não aparece
isolado na integral). Expandindo obtemos um polinômio simples que é fácil de integrar com a regra do polinômio. Esta escolha segue a ideia de usar o método mais direto e elemental quando ele é rápido.
Passo 3
Expandindo o integrando usando a identidade do quadrado da soma:
Aqui tome
e
. Então calculamos cada termo:
Portanto o integrando vira
Passo 4
Relembrando as regras básicas de integração que vou usar (explicadinho):
- Linearidade:
. Ou seja, integra-se termo a termo. - Constante fora da integral:
para constante . - Regra do poder (power rule): para
,
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente, e
é a constante de integração que sempre aparece em primitivas indefinidas.
Usarei essas regras para integrar cada termo do polinômio encontrado.
Passo 5
Integrando termo a termo:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
-
Terceiro termo:
Somando as primitivas (pela linearidade) e lembrando da constante de integração
, obtemos a primitiva geral
Passo 6
Verificação rápida (ufa, confirmar é sempre bom): derivando a resposta encontrada deve voltar o integrando. Calcular a derivada de
:
Somando:
, que é exatamente
. Logo a primitiva está correta.