Exercícios integrais
c) \int\left(2 x^{2}+3\right)^{2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem para calcular a integral indefinida \displaystyle \int\left(2 x^{2}+3\right)^{2}\,dx.
  • Informação dada: a função a integrar é \left(2 x^{2}+3\right)^{2}. Não há valores nem outras condições (é uma primitiva geral).

Passo 2

Decidindo o caminho (sem resolver ainda): duas ideias naturais para integrar \left(2 x^{2}+3\right)^{2} são (i) fazer uma substituição u=2x^2+3 ou (ii) expandir o quadrado e integrar termo a termo. Vou escolher expandir, porque a substituição direta não simplifica imediatamente (pois du=4x\,dx e não aparece x\,dx isolado na integral). Expandindo obtemos um polinômio simples que é fácil de integrar com a regra do polinômio. Esta escolha segue a ideia de usar o método mais direto e elemental quando ele é rápido.

Passo 3

Expandindo o integrando usando a identidade do quadrado da soma:
(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}.
Aqui tome a=2x^{2} e b=3. Então calculamos cada termo:
a^{2} = (2x^{2})^{2} = 4x^{4},
2ab = 2\cdot(2x^{2})\cdot 3 = 12x^{2},
b^{2} = 3^{2} = 9.
Portanto o integrando vira
\left(2x^{2}+3\right)^{2} = 4x^{4} + 12x^{2} + 9.

Passo 4

Relembrando as regras básicas de integração que vou usar (explicadinho):
  • Linearidade: \displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx. Ou seja, integra-se termo a termo.
  • Constante fora da integral: \displaystyle \int c\cdot f(x)\,dx = c\cdot\int f(x)\,dx para constante c.
  • Regra do poder (power rule): para n\neq -1,
\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração que sempre aparece em primitivas indefinidas.
Usarei essas regras para integrar cada termo do polinômio encontrado.

Passo 5

Integrando termo a termo:
  • Primeiro termo: \displaystyle \int 4x^{4}\,dx = 4\int x^{4}\,dx = 4\cdot\frac{x^{5}}{5} = \frac{4}{5}x^{5}.
  • Segundo termo: \displaystyle \int 12x^{2}\,dx = 12\int x^{2}\,dx = 12\cdot\frac{x^{3}}{3} = 4x^{3}.
  • Terceiro termo: \displaystyle \int 9\,dx = 9x.
Somando as primitivas (pela linearidade) e lembrando da constante de integração C, obtemos a primitiva geral
\frac{4}{5}x^{5} + 4x^{3} + 9x + C.

Passo 6

Verificação rápida (ufa, confirmar é sempre bom): derivando a resposta encontrada deve voltar o integrando. Calcular a derivada de \displaystyle \frac{4}{5}x^{5} + 4x^{3} + 9x:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{4}{5}x^{5}\right) = \frac{4}{5}\cdot 5x^{4} = 4x^{4}.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\!(4x^{3}) = 12x^{2}.
  • \displaystyle \frac{d}{dx}\!(9x) = 9.
Somando: 4x^{4}+12x^{2}+9, que é exatamente \left(2x^{2}+3\right)^{2}. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}x^{5} + 4x^{3} + 9x + C

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