Um líquido de massa específica 100 \mathrm{lb} / \mathrm{ft}^{3} ocupa um volume de 250 \mathrm{ft}^{3} \mathrm{em} \mathrm{um} tanque cilíndrico vertical de 6 ft de diâmetro. Se o tanque é aberto para a atmosfera, calcule:
a) pressão hidrostática;
b) a pressão absoluta no fundo do tanque expressa em:
a. quilopascal
b. quilograma-força por centímetro quadrado
c. libra-força por polegada quadrada
d. metros de água

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo retirado do texto do problema):
  • Dados fornecidos:
    • massa específica (peso específico) do líquido: \gamma = 100\\ \mathrm{lb/ft^{3}}.
    • volume de líquido: V = 250\\ \mathrm{ft^{3}}.
    • diâmetro do cilindro: d = 6\\ \mathrm{ft}.
    • o tanque é vertical, cilíndrico e aberto para a atmosfera (portanto a pressão absoluta no fundo é a soma da pressão hidrostática com a pressão atmosférica).
  • Perguntas:
    • (a) Calcular a pressão hidrostática no fundo do tanque (ou seja, a pressão devido apenas ao peso do líquido).
    • (b) Calcular a pressão absoluta no fundo do tanque e expressá‑la em:
      • (a) quilopascal;
      • (b) quilograma‑força por centímetro quadrado;
      • (c) libra‑força por polegada quadrada;
      • (d) metros de água.

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar a altura (profundidade) do líquido no tanque, pois a pressão hidrostática no fundo depende da altura da coluna de líquido. Área da base do cilindro:
A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo d=6\\ \mathrm{ft}:
A = \frac{\pi \cdot 6^{2}}{4} = \frac{36\pi}{4} = 9\pi\\ \mathrm{ft^{2}}.
Cálculo numérico aproximado:
A \approx 9\pi \approx 28,274333\\ \mathrm{ft^{2}}.

Passo 3

Altura h do líquido obtida por h = V/A:
h = \frac{250\\ \mathrm{ft^{3}}}{9\pi\\ \mathrm{ft^{2}}} = \frac{250}{9\pi}\\ \mathrm{ft}.
Cálculo numérico:
h \approx 8,841941\\ \mathrm{ft}.
Comentário didático: aqui usamos a relação simples do volume do cilindro V = A\cdot h. Não há truque — é só dividir o volume pela área da base.

Passo 4

Fórmula da pressão hidrostática (pressão devida ao peso do fluido) em termos de peso específico:
p_{h} = \gamma\,h,
onde
  • p_{h} é a pressão hidrostática (em unidades de força por área),
  • \gamma é o peso específico do fluido (força por volume),
  • h é a altura da coluna do fluido.
Aqui \gamma = 100\\ \mathrm{lb/ft^{3}} (interpreta‑se como libra‑força por pé cúbico) e h \approx 8,841941\\ \mathrm{ft}. Logo:
p_{h} = 100\\ \mathrm{lb/ft^{3}} \times 8,841941\\ \mathrm{ft} = 884,1941\\ \mathrm{lb/ft^{2}}.
Explicando unidades: \mathrm{lb/ft^{3}}\times\mathrm{ft}=\mathrm{lb/ft^{2}}, que é libra‑força por pé quadrado (psf).

Passo 5

Convérsões práticas — vou converter p_{h} para unidades mais usadas:
  • De \mathrm{lb/ft^{2}} para \mathrm{lbf/in^{2}} (psi): 1\\ \mathrm{ft^{2}}=144\\ \mathrm{in^{2}}, então divide‑se por 144:
p_{h} = \frac{884,1941}{144}\\ \mathrm{lbf/in^{2}} \approx 6,140242\\ \mathrm{psi}.
  • De \mathrm{psi} para \mathrm{kPa}: 1\\ \mathrm{psi} = 6,894757\\ \mathrm{kPa}, então
p_{h} \approx 6,140242\times6,894757\\ \mathrm{kPa} \approx 42,3358\\ \mathrm{kPa}.
  • Em altura de coluna de água: 1\\ \mathrm{m\\ H_{2}O} = 9,80665\\ \mathrm{kPa}, então
p_{h}\\ (\text{em m H}_{2}\text{O}) \approx \frac{42,3358}{9,80665}\\ \mathrm{m} \approx 4,317\\ \mathrm{m\\ H_{2}O}.

Passo 6

Agora a pressão absoluta no fundo: como o tanque é aberto à atmosfera, a pressão absoluta é
p_{\text{abs}} = p_{\text{atm}} + p_{h}.
Usaremos a pressão atmosférica padrão (uma convenção usual em problemas): p_{\text{atm}} = 14,696\\ \mathrm{psi} = 101,325\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Calcular em \mathrm{psi} primeiro (soma direta):
p_{\text{abs}} = 14,696\\ \mathrm{psi} + 6,140242\\ \mathrm{psi} = 20,836242\\ \mathrm{psi}.

Passo 8

Converter p_{\text{abs}} para as unidades pedidas:
  • Para \mathrm{kPa}: 1\\ \mathrm{psi}=6,894757\\ \mathrm{kPa} ou simplesmente soma em kPa:
p_{\text{abs}} = 101,325\\ \mathrm{kPa} + 42,3358\\ \mathrm{kPa} = 143,6608\\ \mathrm{kPa}.
  • Para \mathrm{kgf/cm^{2}}: 1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} = 98,0665\\ \mathrm{kPa}. Então
p_{\text{abs}} = \frac{143,6608}{98,0665}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} \approx 1,465\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Explicação: \mathrm{kgf/cm^{2}} é uma unidade de pressão baseada no quilograma‑força; a conversão padrão para kPa é essa.
  • Para \mathrm{lbf/in^{2}} (já calculado):
p_{\text{abs}} \approx 20,836242\\ \mathrm{lbf/in^{2}}.
  • Para metros de água:
p_{\text{abs}} = \frac{143,6608\\ \mathrm{kPa}}{9,80665\\ \mathrm{kPa/m}} \approx 14,646\\ \mathrm{m\\ H_{2}O}.

Passo 9

Resumo numérico (arredondamentos usuais; mantenho 4 algarismos significativos em muitos valores):
  • altura do líquido: h \approx 8,8419\\ \mathrm{ft}.
  • pressão hidrostática no fundo (apenas peso do líquido): p_{h} \approx 884,19\\ \mathrm{lb/ft^{2}} \approx 6,1402\\ \mathrm{psi} \approx 42,336\\ \mathrm{kPa} \approx 4,317\\ \mathrm{m\\ H_{2}O}.
  • pressão absoluta no fundo (soma com atmosfera padrão): p_{\text{abs}} \approx 143,661\\ \mathrm{kPa} \approx 1,465\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} \approx 20,836\\ \mathrm{psi} \approx 14,646\\ \mathrm{m\\ H_{2}O}.

Resposta

(a) p_{h} \approx 884,19\\ \mathrm{lb/ft^{2}} = 6,1402\\ \mathrm{psi} = 42,336\\ \mathrm{kPa} = 4,317\\ \mathrm{m\\ H_{2}O}
(b) a. p_{\text{abs}} \approx 143,661\\ \mathrm{kPa}
b. p_{\text{abs}} \approx 1,465\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}
c. p_{\text{abs}} \approx 20,836\\ \mathrm{lbf/in^{2}}
d. p_{\text{abs}} \approx 14,646\\ \mathrm{m\\ H_{2}O}

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