Na troposfera, camada atmosférica que se estende da superfície da Terra até a base da atmosfera ( 0 a 11 km), a pressão atmosférica (P em atm) se relaciona com a altitude (h em m) de acordo com a equação que segue:
em que
(em atm) e
(em K) são respectivamente a pressão atmosférica e a temperatura ao nível do mar e latitude de
, g é a aceleração da gravidade (
) e R é a constante universal dos gases (
.k). Obtenha: a) as unidades das constantes 0,0065 e 5,05 . b) Sendo
atm e
, calcule a pressão atmosférica numa altitude de 30.000 pés (ft).
Passo 1
O enunciado fornece a lei da pressão na troposfera
e pede duas coisas:
- (a) determinar as unidades das constantes
e ; - (b) com
atm e K, calcular a pressão atmosférica a pés (ft).
Dados e escolhas numéricas que serão usadas (valores usuais):
- conversão:
; - aceleração da gravidade:
(valor padrão usado aqui); - constante universal dos gases:
.
Não foi dada unidade explícita para as constantes; vamos inferi-las exigindo coerência dimensional da fórmula.
Passo 2
Unidades do
.
Observe o numerador dentro do parêntese:
. O termo
tem unidade de temperatura, ou seja,
. Para que a subtração faça sentido físico,
também precisa ter unidade de
. Como
está em metros (
), a constante multiplicativa deve converter metros em kelvin.
Logo,
Comentário prático:
equivale a
(às vezes aparece assim na meteorologia).
Passo 3
Unidades do
.
A expressão no expoente é
. Um expoente deve ser adimensional (sem unidades). Portanto as unidades de
devem ser tais que o produto
tenha as mesmas unidades de
, para que a divisão por
anule unidades.
Escrevendo as unidades:
Recordando que
, temos
Queremos
, então
Portanto a unidade de
é
.
Passo 4
Resumo das unidades (já pronto para anotar no gabarito):
-
tem unidade (ou , equivalente a ); -
tem unidade .
Agora vamos ao cálculo numérico pedido no item (b).
Passo 5
Converter
pés para metros.
Passo 6
Calcular o fator dentro dos parênteses:
Passo 7
Calcular o expoente numérico
usando
e
.
Passo 8
Agora calcular
pelo procedimento:
com
atm.
Para avaliar a potência é prático usar logaritmos:
Calculando numericamente:
Portanto a pressão na altitude de
ft é aproximadamente
.
Opcional (conversão para pascal):
, então
(cerca de
).
Resposta
a)
b)
b)