Na troposfera, camada atmosférica que se estende da superfície da Terra até a base da atmosfera ( 0 a 11 km), a pressão atmosférica (P em atm) se relaciona com a altitude (h em m) de acordo com a equação que segue: P=P_{o} \cdot\left(\frac{T_{o}-0,0065 . h}{T_{o}}\right)^{\frac{5,05 \cdot g}{R}} em que \mathrm{P}_{\mathrm{o}} (em atm) e \mathrm{T}_{\mathrm{o}} (em K) são respectivamente a pressão atmosférica e a temperatura ao nível do mar e latitude de 40^{\underline{\circ}}, g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} ) e R é a constante universal dos gases ( \mathrm{em} \mathrm{J} / \mathrm{mol}.k). Obtenha: a) as unidades das constantes 0,0065 e 5,05 . b) Sendo P_{o}=1 atm e T_{o} 290 \mathrm{~K}, calcule a pressão atmosférica numa altitude de 30.000 pés (ft).

Passo 1

O enunciado fornece a lei da pressão na troposfera
P = P_{o}\cdot\left(\frac{T_{o}-0,0065\cdot h}{T_{o}}\right)^{\frac{5,05\cdot g}{R}},
e pede duas coisas:
  • (a) determinar as unidades das constantes 0,0065 e 5,05;
  • (b) com P_{o}=1 atm e T_{o}=290 K, calcular a pressão atmosférica a 30\,000 pés (ft).
Dados e escolhas numéricas que serão usadas (valores usuais):
  • conversão: 1\\ \text{ft} = 0,3048\\ \text{m};
  • aceleração da gravidade: g=9,8\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2} (valor padrão usado aqui);
  • constante universal dos gases: R=8,314\\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
    Não foi dada unidade explícita para as constantes; vamos inferi-las exigindo coerência dimensional da fórmula.

Passo 2

Unidades do 0,0065.
Observe o numerador dentro do parêntese: T_{o}-0,0065\cdot h. O termo T_{o} tem unidade de temperatura, ou seja, \text{K}. Para que a subtração faça sentido físico, 0,0065\cdot h também precisa ter unidade de \text{K}. Como h está em metros ( \text{m}), a constante multiplicativa deve converter metros em kelvin.
Logo,
\text{unidade de }0,0065 = \frac{\text{K}}{\text{m}} = \text{K}\cdot\text{m}^{-1}.
Comentário prático: 0,0065\\ \text{K}\cdot\text{m}^{-1} equivale a 6,5\\ \text{K}\cdot\text{km}^{-1} (às vezes aparece assim na meteorologia).

Passo 3

Unidades do 5,05.
A expressão no expoente é \dfrac{5,05\cdot g}{R}. Um expoente deve ser adimensional (sem unidades). Portanto as unidades de 5,05 devem ser tais que o produto 5,05\cdot g tenha as mesmas unidades de R, para que a divisão por R anule unidades.
Escrevendo as unidades:
[g] = \text{m}\cdot\text{s}^{-2}, \qquad [R] = \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
Recordando que 1\\ \text{J} = 1\\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}, temos
[R] = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}}{\text{mol}\cdot\text{K}}.
Queremos [5,05]\cdot[g]=[R], então
[5,05] \;=\; \frac{[R]}{[g]} \;=\; \frac{\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-2}}{\text{mol}\cdot\text{K}}}{\text{m}\cdot\text{s}^{-2}} \;=\; \frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{mol}\cdot\text{K}}.
Portanto a unidade de 5,05 é \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

Passo 4

Resumo das unidades (já pronto para anotar no gabarito):
  • 0,0065 tem unidade \text{K}\cdot\text{m}^{-1} (ou \text{K}/\text{m}, equivalente a 6,5\\ \text{K}/\text{km});
  • 5,05 tem unidade \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
Agora vamos ao cálculo numérico pedido no item (b).

Passo 5

Converter 30\,000 pés para metros.
h = 30\,000\\ \text{ft}\times 0,3048\\ \frac{\text{m}}{\text{ft}} = 30\,000\cdot 0,3048\\ \text{m}.
h = 9\,144\\ \text{m}.

Passo 6

Calcular o fator dentro dos parênteses:
0,0065\cdot h = 0,0065\cdot 9\,144 = 59,436\\ \text{K}.
T_{o}-0,0065\cdot h = 290 - 59,436 = 230,564\\ \text{K}.
\frac{T_{o}-0,0065\cdot h}{T_{o}} = \frac{230,564}{290} = 0,795048\ldots

Passo 7

Calcular o expoente numérico \dfrac{5,05\cdot g}{R} usando g=9,8\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2} e R=8,314\\ \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
5,05\cdot g = 5,05\cdot 9,8 = 49,49
\frac{5,05\cdot g}{R} = \frac{49,49}{8,314} \approx 5,949\ldots

Passo 8

Agora calcular P pelo procedimento:
P = P_{o}\cdot\left(0,795048\ldots\right)^{5,949\ldots},
com P_{o}=1 atm.
Para avaliar a potência é prático usar logaritmos:
\ln P = 5,949\ldots \cdot \ln(0,795048\ldots).
Calculando numericamente:
\ln(0,795048\ldots) \approx -0,22942,
\ln P \approx 5,949\cdot(-0,22942) \approx -1,3637.
P \approx e^{-1,3637} \approx 0,255.
Portanto a pressão na altitude de 30\,000 ft é aproximadamente 0,255\\ \text{atm}.
Opcional (conversão para pascal): 1\\ \text{atm} \approx 101\,325\\ \text{Pa}, então P\approx 0,255\cdot 101\,325 \approx 25\,800\\ \text{Pa} (cerca de 25,8\\ \text{kPa}).

Resposta

a) 0,0065:\\ \text{K}\cdot\text{m}^{-1};\qquad 5,05:\\ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
b) P\approx 0,255\\ \text{atm}.

Exercícios relacionados