Nos Exercícios de la 4, ache a representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência. \int_{2}^{x} \frac{d t}{4-t}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) achar uma representação em série de potências para a integral
\int_{2}^{x}\frac{dt}{4-t},
e (2) determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função integranda é \dfrac{1}{4-t}.
O intervalo de integração começa em t=2 e vai até t=x.
Há uma singularidade da integranda em t=4 (pois 4-t=0 quando t=4); isto indica que qualquer série centrada em t=2 só poderá convergir até a distância que chega a t=4, no máximo.
Passo 2
Vamos escrever \dfrac{1}{4-t} de forma a obter uma série geométrica em torno de t=2. Primeiro factoramos:
Explicando: isso nos dá uma expansão em potências de (t-2), centrada em 2. A condição |t-2|<2 é a região onde a série geométrica converge.
Passo 3
Agora integramos termo a termo de t=2 até t=x. Justificativa curta e intuitiva: a série geométrica converge uniformemente em qualquer compacta estritamente contida em |t-2|<2, então podemos integrar termo a termo nesses conjuntos; o resultado valerá para |x-2|<2.
coincidindo com a primitiva conhecida \displaystyle\int\frac{dt}{4-t}=-\ln|4-t|+C avaliada entre 2 e x.
Passo 5
Determinar o raio de convergência: a condição de convergência foi \left|\dfrac{t-2}{2}\right|<1. Para a série resultante em x substituímos t por x e obtemos a condição
Portanto o raio de convergência é R=2. O intervalo de convergência centrado em 2 é (0,4); na fronteira x=0 a série converge condicionalmente (série alternada) e em x=4 diverge (harmônica).