Nos Exercícios de la 4, ache a representação em série de potências para a integral dada e determine o seu raio de convergência.
\int_{2}^{x} \frac{d t}{4-t}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) achar uma representação em série de potências para a integral
\int_{2}^{x}\frac{dt}{4-t},
e (2) determinar o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \dfrac{1}{4-t}.
  • O intervalo de integração começa em t=2 e vai até t=x.
  • Há uma singularidade da integranda em t=4 (pois 4-t=0 quando t=4); isto indica que qualquer série centrada em t=2 só poderá convergir até a distância que chega a t=4, no máximo.

Passo 2

Vamos escrever \dfrac{1}{4-t} de forma a obter uma série geométrica em torno de t=2. Primeiro factoramos:
4-t = 2 - (t-2) = 2\left(1 - \frac{t-2}{2}\right).
Dividindo, obtemos
\frac{1}{4-t} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1 - \dfrac{t-2}{2}}.
Aqui introduzimos a variável auxiliar u=\dfrac{t-2}{2}. Lembrando a fórmula da série geométrica:
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n\quad\text{para }\\ |u|<1,
podemos aplicar essa fórmula com u=\dfrac{t-2}{2}. Assim, para |(t-2)/2|<1 (ou seja |t-2|<2) vale
\frac{1}{4-t}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{t-2}{2}\right)^n.
Explicando: isso nos dá uma expansão em potências de (t-2), centrada em 2. A condição |t-2|<2 é a região onde a série geométrica converge.

Passo 3

Agora integramos termo a termo de t=2 até t=x. Justificativa curta e intuitiva: a série geométrica converge uniformemente em qualquer compacta estritamente contida em |t-2|<2, então podemos integrar termo a termo nesses conjuntos; o resultado valerá para |x-2|<2.
Integrando a série:
\int_{2}^{x}\frac{dt}{4-t}=\int_{2}^{x}\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{t-2}{2}\right)^n dt =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\int_{2}^{x}(t-2)^n dt.
Calcule a integral elementar:
\int_{2}^{x}(t-2)^n dt=\left[\frac{(t-2)^{n+1}}{n+1}\right]_{2}^{x}=\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}-0.
Portanto
\int_{2}^{x}\frac{dt}{4-t}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\cdot\frac{(x-2)^{n+1}}{n+1}.
Simplificando a constante \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{2^{n+1}}, obtemos
\int_{2}^{x}\frac{dt}{4-t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-2)^{n+1}}{(n+1)2^{\,n+1}}.

Passo 4

Reindexando para ficar mais elegante, ponha k=n+1. Então k vai de 1 a \infty e a série fica
\int_{2}^{x}\frac{dt}{4-t}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{k}}{k\,2^{k}}.
Uma verificação rápida: a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{u^k}{k} (com u=(x-2)/2) é a expansão de -\ln(1-u) quando |u|<1. Assim
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{k}}{k\,2^{k}}=-\ln\!\left(1-\frac{x-2}{2}\right)=\ln\!\left(\frac{2}{4-x}\right),
coincidindo com a primitiva conhecida \displaystyle\int\frac{dt}{4-t}=-\ln|4-t|+C avaliada entre 2 e x.

Passo 5

Determinar o raio de convergência: a condição de convergência foi \left|\dfrac{t-2}{2}\right|<1. Para a série resultante em x substituímos t por x e obtemos a condição
\left|\frac{x-2}{2}\right|<1\quad\Longleftrightarrow\quad |x-2|<2.
Portanto o raio de convergência é R=2. O intervalo de convergência centrado em 2 é (0,4); na fronteira x=0 a série converge condicionalmente (série alternada) e em x=4 diverge (harmônica).

Resposta

\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{dt}{4-t}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x-2)^{k}}{k\,2^{k}}
R=2

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