Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A série é indexada por n=1,2,\dots.
  • O termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
  • Queremos o conjunto de valores de x\in\mathbb{R} para os quais a série converge.

Passo 2

Escolho usar o Teste da Razão (ratio test) porque é o método padrão para séries com fatoriais e potências — ele costuma dar uma resposta direta para o raio de convergência. Vou primeiro explicar o teste de forma simples:
  • Para uma série de termos a_n, o Teste da Razão diz que, se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe, então:
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
Aqui, cada a_n depende de x. Portanto aplicamos o teste para um x fixo e vemos para quais x o limite L é menor que 1.

Passo 3

Calcular os módulos dos termos e a razão entre termos consecutivos. O termo geral em módulo é
|a_n|=\left|\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}\right|=\frac{|x|^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Agora a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{|x|^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!}\cdot\frac{(2n-1)!}{|x|^{2n-1}}.
Simplificando os expoentes e fatoriais:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdot\frac{(2n-1)!}{|x|^{2n-1}} = |x|^{2}\cdot\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}.
E usando (2n+1)!=(2n+1)(2n)(2n-1)! obtemos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x|^{2}\cdot\frac{1}{(2n+1)(2n)}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2n+1)(2n)}.
Como (2n+1)(2n) cresce como 4n^2 quando n\to\infty, o limite é
L=0
para todo x fixo (qualquer x\in\mathbb{R}). Como L=0<1, a série converge absolutamente para qualquer valor real de x.
Observação intuitiva: o fatorial (2n-1)! cresce muito mais rápido do que qualquer potência |x|^{2n-1}, por isso os termos vão a zero rápido e a série converge absolutamente para todo x.

Passo 5

Conclui-se que a série é absolutamente convergente para todo x\in\mathbb{R}. Em termos de raio de convergência, isso significa raio infinito e intervalo de convergência igual a todos os reais.
Passando a uma observação extra que pode ajudar na prova: reindexando com m=n-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} =\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!},
que é justamente a série de Taylor de \sin x. Assim a soma da série é \sin x e isso confirma que a série converge para todo x (pois \sin x tem expansão em série de potências com raio infinito).

Resposta

(-\infty,\infty)

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