O termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Queremos o conjunto de valores de x\in\mathbb{R} para os quais a série converge.
Passo 2
Escolho usar o Teste da Razão (ratio test) porque é o método padrão para séries com fatoriais e potências — ele costuma dar uma resposta direta para o raio de convergência. Vou primeiro explicar o teste de forma simples:
Para uma série de termos a_n, o Teste da Razão diz que, se
Como (2n+1)(2n) cresce como 4n^2 quando n\to\infty, o limite é
L=0
para todo x fixo (qualquer x\in\mathbb{R}). Como L=0<1, a série converge absolutamente para qualquer valor real de x.
Observação intuitiva: o fatorial (2n-1)! cresce muito mais rápido do que qualquer potência |x|^{2n-1}, por isso os termos vão a zero rápido e a série converge absolutamente para todo x.
Passo 5
Conclui-se que a série é absolutamente convergente para todo x\in\mathbb{R}. Em termos de raio de convergência, isso significa raio infinito e intervalo de convergência igual a todos os reais.
Passando a uma observação extra que pode ajudar na prova: reindexando com m=n-1 obtemos
que é justamente a série de Taylor de \sin x. Assim a soma da série é \sin x e isso confirma que a série converge para todo x (pois \sin x tem expansão em série de potências com raio infinito).