Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^{n}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^{n}}{3^{n}}.
Informações dadas:
  • A série é uma série de potências centrada em 0 (cada termo é da forma a_n x^n com a_n=\dfrac{n}{3^n}).
  • A pergunta é: para quais valores de x essa soma converge?

Passo 2

Qual método usar? Para séries de potências a maneira mais direta é aplicar o teste da razão (ou o teste da raiz) para encontrar o raio de convergência. Vou usar o teste da razão porque aqui ele é simples de aplicar.
Lembrete do teste da razão (explicação didática):
  • Considere uma série de termos b_n. O teste da razão analisa o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|.
  • Se L<1, a série \sum b_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    No caso de uma série de potências \sum a_n x^n aplicamos o teste à sequência b_n=a_n x^n.

Passo 3

Aplicando o teste da razão aos termos b_n=\dfrac{n x^{n}}{3^{n}}. Calculo a razão entre termos consecutivos:
\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| = \left|\frac{\dfrac{(n+1)x^{n+1}}{3^{n+1}}}{\dfrac{n x^{n}}{3^{n}}}\right| = \left|\frac{n+1}{n}\cdot\frac{x}{3}\right| = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{|x|}{3}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{|x|}{3}=\frac{|x|}{3},
porque \lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n}=1.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior:
  • Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se L<1, isto é se
\frac{|x|}{3}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<3.
  • A série diverge se |x|>3.
    Portanto o raio de convergência é R=3 e a série converge (ao menos) para todos os x com |x|<3. Ainda resta verificar os pontos extremos x=3 e x=-3.

Passo 5

Verificação dos extremos:
  1. Para x=3: o termo geral fica
b_n=\frac{n\cdot 3^{n}}{3^{n}}=n.
Como os termos b_n=n não tendem a zero (na verdade tendem a +\infty), a série \sum b_n não pode convergir (uma série convergente tem termos que tendem a zero). Logo diverge em x=3.
  1. Para x=-3: o termo geral fica
b_n=\frac{n\cdot (-3)^{n}}{3^{n}}=n(-1)^{n}.
Também aqui \lim_{n\to\infty} n(-1)^{n} não existe e em particular os termos não tendem a zero (a magnitude cresce sem bound). Portanto a série diverge em x=-3 também.

Passo 6

Conclusão: a série converge absolutamente para |x|<3 e diverge para |x|\ge 3. Portanto o intervalo de convergência é o intervalo aberto centrado em 0 com raio 3.

Resposta

(-3,3)

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