Determine o intervalo de convergência da série de potências dada. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^{n}}{3^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^{n}}{3^{n}}.
Informações dadas:
A série é uma série de potências centrada em 0 (cada termo é da forma a_n x^n com a_n=\dfrac{n}{3^n}).
A pergunta é: para quais valores de x essa soma converge?
Passo 2
Qual método usar? Para séries de potências a maneira mais direta é aplicar o teste da razão (ou o teste da raiz) para encontrar o raio de convergência. Vou usar o teste da razão porque aqui ele é simples de aplicar.
Lembrete do teste da razão (explicação didática):
Considere uma série de termos b_n. O teste da razão analisa o limite
A série diverge se |x|>3.
Portanto o raio de convergência é R=3 e a série converge (ao menos) para todos os x com |x|<3. Ainda resta verificar os pontos extremos x=3 e x=-3.
Passo 5
Verificação dos extremos:
Para x=3: o termo geral fica
b_n=\frac{n\cdot 3^{n}}{3^{n}}=n.
Como os termos b_n=n não tendem a zero (na verdade tendem a +\infty), a série \sum b_n não pode convergir (uma série convergente tem termos que tendem a zero). Logo diverge em x=3.
Para x=-3: o termo geral fica
b_n=\frac{n\cdot (-3)^{n}}{3^{n}}=n(-1)^{n}.
Também aqui \lim_{n\to\infty} n(-1)^{n} não existe e em particular os termos não tendem a zero (a magnitude cresce sem bound). Portanto a série diverge em x=-3 também.
Passo 6
Conclusão: a série converge absolutamente para |x|<3 e diverge para |x|\ge 3. Portanto o intervalo de convergência é o intervalo aberto centrado em 0 com raio 3.