Exercícios 6 (
pontos) Analise a função abaixo:
Identifique os pontos em que a função é contínua, se houver.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para identificar os pontos em que
é contínua. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
, definido para todo . - O denominador é
; aqui aparece , que só está definido para . - Uma função só pode ser contínua em pontos onde ela está definida. Portanto precisamos primeiro achar o domínio onde
está definida e depois verificar continuidade nesses pontos.
Passo 2
Determinar o domínio de definição de
.
Para que
esteja definida precisamos que:
-
exista, ou seja . - O denominador não seja zero, ou seja
.
Como
, a condição
não ocorre. Logo as raízes possíveis do denominador vêm de
, cuja solução é
. Portanto o denominador é zero em
, que deve ser excluído do domínio.
Concluímos que o domínio de
é
Passo 3
Lembrar um resultado útil sobre continuidade (aqui explico devagarinho):
- Se
e são funções contínuas em um ponto e , então a razão é contínua em . - Funções elementares como
, a função identidade , potências e (no domínio ) são contínuas onde estão definidas. - Assim, em qualquer ponto
em que todas essas funções sejam definidas e o denominador seja não nulo, a combinação é contínua em .
Explicação curta do porquê: soma, subtração, produto e quociente (quando o denominador ≠0) de funções contínuas são contínuos — isto decorre das propriedades limites e da definição de continuidade.
Passo 4
Aplicar o teorema ao nosso domínio:
Para todo
em
temos:
-
é contínua em , -
é contínua em , -
é contínua em , -
é contínua em ,
epor construção do domínio.
Logo, para qualquer
a função
é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, portanto
é contínua em todo ponto de
.
Passo 5
Verificar os pontos que ficam fora do domínio — especialmente
— para entender o tipo de descontinuidade:
Em
o denominador se anula porque
. A função não está definida em
. Podemos verificar se é possível uma remoção da descontinuidade calculando o numerador em
:
Como o numerador em
é diferente de zero enquanto o denominador tende a zero,
diverge quando
. Mais precisamente, para
temos
pequeno, numerador aproximando
, logo
; para
(valores positivos menores que 1)
pequeno, numerador negativo, então
. Portanto
é uma descontinuidade essencial (assimétrica, com assíntotas verticais), não removível.
Passo 6
Observação adicional (opcional, mas útil para prova): o ponto
não pertence ao domínio porque
não existe. Entretanto, se quisermos estudar o limite quando
usamos a expansão em
:
então
Dividindo por
obtemos
e como
quando
, temos
. Isso mostra que o limite existe em
e é
, mas como
não está definido em
não podemos considerá-lo ponto de continuidade da função dada (a menos que se definisse
por extensão).
Resposta
A função é contínua em
.