Exercícios 6 ( \mathbf{1 , 5} pontos) Analise a função abaixo:
f(x)=\frac{\operatorname{arctg}(x)-x}{x^{3} \ln (x)}
Identifique os pontos em que a função é contínua, se houver.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{\operatorname{arctg}(x)-x}{x^{3}\ln(x)}
e pede para identificar os pontos em que f é contínua. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é \operatorname{arctg}(x)-x, definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • O denominador é x^{3}\ln(x); aqui aparece \ln(x), que só está definido para x>0.
  • Uma função só pode ser contínua em pontos onde ela está definida. Portanto precisamos primeiro achar o domínio onde f está definida e depois verificar continuidade nesses pontos.

Passo 2

Determinar o domínio de definição de f.
Para que f(x) esteja definida precisamos que:
  1. \ln(x) exista, ou seja x>0.
  2. O denominador não seja zero, ou seja x^{3}\ln(x)\neq 0.
Como x>0, a condição x^{3}=0 não ocorre. Logo as raízes possíveis do denominador vêm de \ln(x)=0, cuja solução é x=1. Portanto o denominador é zero em x=1, que deve ser excluído do domínio.
Concluímos que o domínio de f é
(0,\infty)\setminus\{1\} = (0,1)\cup(1,\infty).

Passo 3

Lembrar um resultado útil sobre continuidade (aqui explico devagarinho):
  • Se g e h são funções contínuas em um ponto a e h(a)\neq 0, então a razão g/h é contínua em a.
  • Funções elementares como \operatorname{arctg}(x), a função identidade x\mapsto x, potências x\mapsto x^{3} e \ln(x) (no domínio x>0) são contínuas onde estão definidas.
  • Assim, em qualquer ponto a em que todas essas funções sejam definidas e o denominador seja não nulo, a combinação \dfrac{\operatorname{arctg}(x)-x}{x^{3}\ln(x)} é contínua em a.
Explicação curta do porquê: soma, subtração, produto e quociente (quando o denominador ≠0) de funções contínuas são contínuos — isto decorre das propriedades limites e da definição de continuidade.

Passo 4

Aplicar o teorema ao nosso domínio:
Para todo a em (0,1)\cup(1,\infty) temos:
  • \operatorname{arctg}(x) é contínua em a,
  • x é contínua em a,
  • x^{3} é contínua em a,
  • \ln(x) é contínua em a,
    e x^{3}\ln(x)\neq 0 por construção do domínio.
Logo, para qualquer a\in(0,1)\cup(1,\infty) a função f é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, portanto f é contínua em todo ponto de (0,1)\cup(1,\infty).

Passo 5

Verificar os pontos que ficam fora do domínio — especialmente x=1 — para entender o tipo de descontinuidade:
Em x=1 o denominador se anula porque \ln(1)=0. A função não está definida em x=1. Podemos verificar se é possível uma remoção da descontinuidade calculando o numerador em x=1:
\operatorname{arctg}(1)-1 = \frac{\pi}{4}-1 \neq 0.
Como o numerador em 1 é diferente de zero enquanto o denominador tende a zero, f(x) diverge quando x\to 1. Mais precisamente, para x\to1^{+} temos \ln(x)>0 pequeno, numerador aproximando \frac{\pi}{4}-1<0, logo f(x)\to -\infty; para x\to1^{-} (valores positivos menores que 1) \ln(x)<0 pequeno, numerador negativo, então f(x)\to +\infty. Portanto x=1 é uma descontinuidade essencial (assimétrica, com assíntotas verticais), não removível.

Passo 6

Observação adicional (opcional, mas útil para prova): o ponto x=0 não pertence ao domínio porque \ln(0) não existe. Entretanto, se quisermos estudar o limite quando x\to0^{+} usamos a expansão em 0:
\operatorname{arctg}(x)=x-\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})\quad(x\to0),
então
\operatorname{arctg}(x)-x\sim -\frac{x^{3}}{3}.
Dividindo por x^{3}\ln(x) obtemos
f(x)\sim -\frac{1}{3\ln(x)}\quad (x\to0^{+}),
e como \ln(x)\to -\infty quando x\to0^{+}, temos \lim_{x\to0^{+}}f(x)=0. Isso mostra que o limite existe em 0 e é 0, mas como f não está definido em 0 não podemos considerá-lo ponto de continuidade da função dada (a menos que se definisse f(0)=0 por extensão).

Resposta

A função é contínua em (0,1)\cup(1,\infty).

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