Exercícios 5 ( 2,0 pontos) Considere a função:
A função é contínua em
. Justifique a sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede que verifiquemos se a função é contínua em
. Informações relevantes que temos:
- Para
a função vale . - Para
a função vale . - A continuidade em
significa que o limite de quando se aproxima de (pela esquerda e pela direita) existe e é igual a .
Neste passo apenas listei o que o problema pede e os dados fornecidos.]
Passo 2
Lembrando a definição que vamos usar (explicando com calma): dizemos que uma função
é contínua em um ponto
se e somente se
Como
existe se e somente se as duas limites laterais existem e são iguais, isto equivale a verificar
Aqui vamos aplicar isso com
: precisamos calcular
,
e
e comparar.
Passo 3
Calculemos o valor da função em
. Como o enunciado diz que para
usamos
, então
Portanto o valor que a função toma em
é
. Nosso objetivo será verificar se os limites laterais também valem
.
Passo 4
Calculemos a limite pela esquerda:
Para mostrar que
de forma elementar usamos uma desigualdade bem conhecida: para todo
real vale
(Isto é verdade porque
para todo
; geometricamente ou por argumentos elementares de análise essa desigualdade é clássica.) Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem), como
segue que
Em particular
Passo 5
Calculemos a limite pela direita:
Uma maneira clara de ver esse limite é fazer a mudança de variável
. Quando
temos
, e então
Sabemos que a função
é contínua em
(é definida e bem-comportada para
), logo
Portanto
Passo 6
Agora juntamos os resultados:
Como as duas limites laterais existem e são iguais entre si e iguais ao valor da função em
, concluímos pela definição de continuidade que
é contínua em
.
Resposta
Sim. A função é contínua em
, pois
.