Exercícios 5 ( 2,0 pontos) Considere a função:
f(x)= \begin{cases}\sin (x), & \text { se } x<0 \\\ \ln (1+x), & \text { se } x \geq 0\end{cases}
A função é contínua em x=0. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\sin(x), & \text{se } x<0,\\[4pt] \ln(1+x), & \text{se } x\ge 0,\end{cases}
e pede que verifiquemos se a função é contínua em x=0. Informações relevantes que temos:
  • Para x<0 a função vale \sin(x).
  • Para x\ge 0 a função vale \ln(1+x).
  • A continuidade em x=0 significa que o limite de f(x) quando x se aproxima de 0 (pela esquerda e pela direita) existe e é igual a f(0).
    Neste passo apenas listei o que o problema pede e os dados fornecidos.]

Passo 2

Lembrando a definição que vamos usar (explicando com calma): dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Como \lim_{x\to a} f(x) existe se e somente se as duas limites laterais existem e são iguais, isto equivale a verificar
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
Aqui vamos aplicar isso com a=0: precisamos calcular \lim_{x\to 0^-} f(x), \lim_{x\to 0^+} f(x) e f(0) e comparar.

Passo 3

Calculemos o valor da função em 0. Como o enunciado diz que para x\ge 0 usamos \ln(1+x), então
f(0)=\ln(1+0)=\ln(1)=0.
Portanto o valor que a função toma em 0 é 0. Nosso objetivo será verificar se os limites laterais também valem 0.

Passo 4

Calculemos a limite pela esquerda:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} \sin(x).
Para mostrar que \lim_{x\to 0} \sin(x)=0 de forma elementar usamos uma desigualdade bem conhecida: para todo x real vale
-\,|x|\le \sin(x)\le |x|.
(Isto é verdade porque |\sin x|\le |x| para todo x; geometricamente ou por argumentos elementares de análise essa desigualdade é clássica.) Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem), como
\lim_{x\to 0} -|x|=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0} |x|=0,
segue que
\lim_{x\to 0} \sin(x)=0.
Em particular
\lim_{x\to 0^-} \sin(x)=0.

Passo 5

Calculemos a limite pela direita:
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} \ln(1+x).
Uma maneira clara de ver esse limite é fazer a mudança de variável y=1+x. Quando x\to 0^+ temos y\to 1^+, e então
\lim_{x\to 0^+} \ln(1+x)=\lim_{y\to 1^+} \ln(y).
Sabemos que a função \ln(y) é contínua em y=1 (é definida e bem-comportada para y>0), logo
\lim_{y\to 1} \ln(y)=\ln(1)=0.
Portanto
\lim_{x\to 0^+} \ln(1+x)=0.

Passo 6

Agora juntamos os resultados:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 0^+} f(x)=0,\qquad f(0)=0.
Como as duas limites laterais existem e são iguais entre si e iguais ao valor da função em 0, concluímos pela definição de continuidade que f é contínua em x=0.

Resposta

Sim. A função é contínua em x=0, pois \lim_{x\to0^-}\sin(x)=\lim_{x\to0^+}\ln(1+x)=0=f(0).

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