Exercício 4 ( \mathbf{1 , 5} pontos) Use o Teorema do Confronto para determinar o limite abaixo:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 0} x^{2}\cos\left(\frac{1}{x}\right).
Informações dadas/observações imediatas:
  • A expressão é x^{2}\cos\left(\frac{1}{x}\right) para x tendendo a 0.
  • A função \cos está avaliada em \frac{1}{x}, que oscila muito quando x\to 0.
  • Precisamos determinar o valor do limite (um número) quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Vou usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Enunciando-o de forma útil para nós: suponha que existem funções g(x), f(x) e h(x) tais que, para x próximo de a,
g(x)\le f(x)\le h(x).
Se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Aqui g,h são as “barreiras” e f é a função que fica “espremida” entre elas. A ideia é que se as barreiras têm o mesmo limite L, a função do meio também tem esse limite.

Passo 3

Usamos uma propriedade básica do cosseno: para qualquer número real t,
-1\le \cos t \le 1.
Tomando t=\frac{1}{x} (para x\neq 0), obtemos
-1\le \cos\left(\frac{1}{x}\right)\le 1.
Agora multiplicamos todas as partes da desigualdade por x^{2}. Observação importante: como x^{2}\ge 0 para todo x, a ordem das desigualdades é preservada ao multiplicar por x^{2}. Portanto para x\neq 0 e próximo de 0 temos
-x^{2}\le x^{2}\cos\left(\frac{1}{x}\right)\le x^{2}.
Assim definimos nossas funções de “barreira”: g(x)=-x^{2}, f(x)=x^{2}\cos\left(\frac{1}{x}\right) e h(x)=x^{2}.

Passo 4

Calculamos os limites das barreiras quando x\to 0:
  • Como x^{2} é contínua e x^{2}\ge 0, é direto que
\lim_{x\to 0} x^{2}=0.
  • Logo,
\lim_{x\to 0} -x^{2} = -\lim_{x\to 0} x^{2} = -0 = 0.
Portanto as duas funções de barreira têm o mesmo limite:
\lim_{x\to 0} -x^{2} = \lim_{x\to 0} x^{2} = 0.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto à desigualdade obtida em

Passo 6

\lim_{x\to 0} x^{2}\cos\left(\frac{1}{x}\right) = 0.
Intuição rápida: embora \cos\left(\frac{1}{x}\right) oscile entre -1 e 1 sem limite quando x\to 0, o fator x^{2} tende a 0 e “amorta” essas oscilações, fazendo o produto ir a 0.

Resposta

0

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