Exercício 4 (
pontos) Use o Teorema do Confronto para determinar o limite abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas/observações imediatas:
- A expressão é
para tendendo a . - A função
está avaliada em , que oscila muito quando . - Precisamos determinar o valor do limite (um número) quando
se aproxima de .
Passo 2
Vou usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Enunciando-o de forma útil para nós: suponha que existem funções
,
e
tais que, para
próximo de
,
Se
então
Aqui
são as “barreiras” e
é a função que fica “espremida” entre elas. A ideia é que se as barreiras têm o mesmo limite
, a função do meio também tem esse limite.
Passo 3
Usamos uma propriedade básica do cosseno: para qualquer número real
,
Tomando
(para
), obtemos
Agora multiplicamos todas as partes da desigualdade por
. Observação importante: como
para todo
, a ordem das desigualdades é preservada ao multiplicar por
. Portanto para
e próximo de
temos
Assim definimos nossas funções de “barreira”:
,
e
.
Passo 4
Calculamos os limites das barreiras quando
:
- Como
é contínua e , é direto que
- Logo,
Portanto as duas funções de barreira têm o mesmo limite:
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto à desigualdade obtida em
Passo 6
Intuição rápida: embora
oscile entre
e
sem limite quando
, o fator
tende a
e “amorta” essas oscilações, fazendo o produto ir a
.
Resposta
0