Nos Exercícios 1-4, a matriz dada representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.
O enunciado dá a matriz aumentada de um sistema linear com quatro incógnitas e pede que se escreva o sistema de equações correspondente e que se resolva por eliminação gaussiana, introduzindo parâmetros livres se necessário.
A matriz aumentada dada (peguei os coeficientes do enunciado) representa as equações com as variáveis \,x_1,x_2,x_3,x_4 e o termo à direita. Escrevendo as duas linhas como equações, obtemos:
3x_1 - x_2 + 0x_3 + 4x_4 = 1
2x_1 + 0x_2 + 3x_3 + 3x_4 = -1
O que se pede:
Escrever o sistema linear correspondente (feito acima).
Usar eliminação gaussiana para resolver o sistema.
Introduzir parâmetros livres se o sistema tiver infinitas soluções.
Passo 2
Breve explicação (tipo “aula rápida”) do que é eliminação gaussiana e operações que vou usar:
Eliminação gaussiana transforma o sistema por operações equivalentes sobre as equações (linhas): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula, adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações deixam o sistema equivalente (mesmas soluções).
O objetivo é conseguir uma forma triangular (escalonada) onde cada equação tem uma nova variável principal (pivot) que podemos isolar e, então, fazer substituição regressiva (back-substitution).
Aqui temos mais incógnitas (4) do que equações (2), então é esperado que haja variáveis livres; vou escolher x_3 e x_4 como parâmetros livres mais adiante.
Agora começo a eliminação. Escrevo a matriz aumentada inicial (como lembrete):
Para evitar frações e deixar a segunda linha mais legível, multiplico a nova \text{R}_2 por 3 (operação válida: multiplicar uma equação por constante não nula). Faço \text{R}_2 \leftarrow 3\cdot \text{R}_2. Isso dá:
Como temos mais incógnitas (4) do que equações (2), duas variáveis podem ser escolhidas como livres (parâmetros). É comum escolher as variáveis que não aparecem como pivôs: aqui são x_3 e x_4. Introduzo parâmetros:
x_3 = s,\qquad x_4 = t,
onde s,t são parâmetros reais livres.
Substituo x_3 = s e x_4 = t nas fórmulas encontradas para x_2 e x_1:
Para x_2:
x_2 = \dfrac{-9s - t - 5}{2}.
Para x_1:
x_1 = -\dfrac{3s + 3t + 1}{2}.
Portanto a solução geral, em termos dos parâmetros s,t\in\mathbb{R}, é
x_1 = -\dfrac{3s + 3t + 1}{2},\qquad x_2 = \dfrac{-9s - t - 5}{2},\qquad x_3 = s,\qquad x_4 = t.
Se for útil, escrevo em forma vetorial (mesma informação):