Nos Exercícios 1-4, a matriz dada representa uma matriz aumentada de um sistema linear. Escreva o conjunto de equações lineares correspondentes do sistema e use eliminação gaussiana para resolver o sistema linear. Introduza parâmetros livres se necessário.
\begin{array}{rrrrr}3 & -1 & 0 & 4 & 1 \\\\ 2 & 0 & 3 & 3 & -1\end{array}

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada de um sistema linear com quatro incógnitas e pede que se escreva o sistema de equações correspondente e que se resolva por eliminação gaussiana, introduzindo parâmetros livres se necessário.
A matriz aumentada dada (peguei os coeficientes do enunciado) representa as equações com as variáveis \,x_1,x_2,x_3,x_4 e o termo à direita. Escrevendo as duas linhas como equações, obtemos:
3x_1 - x_2 + 0x_3 + 4x_4 = 1
2x_1 + 0x_2 + 3x_3 + 3x_4 = -1
O que se pede:
  • Escrever o sistema linear correspondente (feito acima).
  • Usar eliminação gaussiana para resolver o sistema.
  • Introduzir parâmetros livres se o sistema tiver infinitas soluções.

Passo 2

Breve explicação (tipo “aula rápida”) do que é eliminação gaussiana e operações que vou usar:
  • Eliminação gaussiana transforma o sistema por operações equivalentes sobre as equações (linhas): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula, adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações deixam o sistema equivalente (mesmas soluções).
  • O objetivo é conseguir uma forma triangular (escalonada) onde cada equação tem uma nova variável principal (pivot) que podemos isolar e, então, fazer substituição regressiva (back-substitution).
    Aqui temos mais incógnitas ( 4) do que equações ( 2), então é esperado que haja variáveis livres; vou escolher x_3 e x_4 como parâmetros livres mais adiante.
Agora começo a eliminação. Escrevo a matriz aumentada inicial (como lembrete):
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -1 & 0 & 4 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 3 & 3 & -1 \end{array}\right]
Quero eliminar a componente x_1 da segunda linha usando a primeira linha como pivô.
Faço a operação padrão com frações: substituir \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \dfrac{2}{3}\text{R}_1. Calculo cada entrada da nova \text{R}_2:
  • Para a coluna de x_1: 2 - \dfrac{2}{3}\cdot 3 = 2 - 2 = 0.
  • Para a coluna de x_2: 0 - \dfrac{2}{3}\cdot(-1) = 0 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}.
  • Para a coluna de x_3: 3 - \dfrac{2}{3}\cdot 0 = 3.
  • Para a coluna de x_4: 3 - \dfrac{2}{3}\cdot 4 = 3 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{1}{3}.
  • Para o termo à direita: -1 - \dfrac{2}{3}\cdot 1 = -1 - \dfrac{2}{3} = -\dfrac{5}{3}.
Assim a linha 2 fica
\left[0\\ ,\\ \dfrac{2}{3}\\ ,\\\ 3\\ ,\\ \dfrac{1}{3}\\ \Big|\\\ -\dfrac{5}{3}\right].]

Passo 3

Para evitar frações e deixar a segunda linha mais legível, multiplico a nova \text{R}_2 por 3 (operação válida: multiplicar uma equação por constante não nula). Faço \text{R}_2 \leftarrow 3\cdot \text{R}_2. Isso dá:
\text{R}_2 = \left[0\\ ,\\\ 2\\ ,\\\ 9\\ ,\\\ 1\\ \Big|\\\ -5\right].
A primeira linha permanece igual. A matriz aumentada agora é
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -1 & 0 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 9 & 1 & -5 \end{array}\right].
Essas duas linhas correspondem ao sistema escalonado:
3x_1 - x_2 + 4x_4 = 1
2x_2 + 9x_3 + x_4 = -5]

Passo 4

Agora interpreto a matriz escalonada e resolvo por substituição regressiva. A segunda equação é simples para isolar x_2. Da segunda equação:
2x_2 + 9x_3 + x_4 = -5.
Isolando x_2:
2x_2 = -9x_3 - x_4 - 5,
x_2 = \dfrac{-9x_3 - x_4 - 5}{2}.
Expliquei: isolar significa passar os termos não contendo x_2 para o outro lado e dividir pelo coeficiente de x_2.

Passo 5

Agora uso a primeira equação para obter x_1. Primeira equação:
3x_1 - x_2 + 4x_4 = 1.
Isolando x_1:
3x_1 = 1 + x_2 - 4x_4,
x_1 = \dfrac{1 + x_2 - 4x_4}{3}.
Agora substituo a expressão que encontrei para x_2 (da Passo 4) na expressão de x_1. Substituição passo a passo:
Primeiro escrevo x_2 explicitamente:
x_2 = \dfrac{-9x_3 - x_4 - 5}{2}.
Substituo em x_1:
x_1 = \dfrac{1 + \dfrac{-9x_3 - x_4 - 5}{2} - 4x_4}{3}.
Para simplificar, coloco tudo sobre o mesmo denominador (faço as contas com cuidado):
1 = \dfrac{2}{2},\quad \text{então}\quad 1 + \dfrac{-9x_3 - x_4 - 5}{2} = \dfrac{2 + (-9x_3 - x_4 -5)}{2} = \dfrac{-9x_3 - x_4 -3}{2}.ã
Então
\dfrac{-9x_3 - x_4 -3}{2} - 4x_4 = \dfrac{-9x_3 - x_4 -3}{2} - \dfrac{8x_4}{2} = \dfrac{-9x_3 -9x_4 -3}{2}.
Dividindo por 3 (lembrando que dividir por 3 é o mesmo que multiplicar por 1/3):
x_1 = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{-9x_3 -9x_4 -3}{2} = \dfrac{-9x_3 -9x_4 -3}{6}.
Fatorando 3 no numerador:
x_1 = \dfrac{-3(3x_3 + 3x_4 +1)}{6} = -\dfrac{3x_3 + 3x_4 + 1}{2}.

Passo 6

Como temos mais incógnitas ( 4) do que equações ( 2), duas variáveis podem ser escolhidas como livres (parâmetros). É comum escolher as variáveis que não aparecem como pivôs: aqui são x_3 e x_4. Introduzo parâmetros:
x_3 = s,\qquad x_4 = t,
onde s,t são parâmetros reais livres.
Substituo x_3 = s e x_4 = t nas fórmulas encontradas para x_2 e x_1:
Para x_2:
x_2 = \dfrac{-9s - t - 5}{2}.
Para x_1:
x_1 = -\dfrac{3s + 3t + 1}{2}.
Portanto a solução geral, em termos dos parâmetros s,t\in\mathbb{R}, é
x_1 = -\dfrac{3s + 3t + 1}{2},\qquad x_2 = \dfrac{-9s - t - 5}{2},\qquad x_3 = s,\qquad x_4 = t.
Se for útil, escrevo em forma vetorial (mesma informação):
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\\[4pt]x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{5}{2}\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[4pt]-\tfrac{9}{2}\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb{R}.]

Resposta

x_1 = -\dfrac{3s + 3t + 1}{2}
x_2 = \dfrac{-9s - t - 5}{2}
x_3 = s
x_4 = t

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