(Modelo Generalizado de von Bertalanffy) Uma generalização natural do modelo von Bertalanffy surge ao observar que, para diferentes espécies (peixes, répteis, aves, mamíferos, invertebrados etc.), a relação alométrica entre peso e área superficial pode assumir outros expoentes. Supondo que a área fisiológica A seja proporcional a p^{\gamma}, com
0<\gamma<1
segue que o balanço entre anabolismo (síntese) e catabolismo (degradação) leva ao modelo geral:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d p}{d t}=\alpha p^{\gamma}-\beta p \\\ p(0)=p_{0} \end{array}\right.
(a) Mostre que ( G ) é uma equação de Bernoulli e resolva-a explicitamente.
(b) Encontre o peso máximo fisiológico p_{\infty}.
(c) Mostre que a taxa de crescimento d p / d t atinge um valor máximo em certo instante t=t^{*} e determine esse instante.
(d) Assuma que o expoente alométrico que relaciona o crescimento fisiológico entre o comprimento \ell(t) do peixe e o peso p(t) é dado por \gamma. Determine explicitamente a função \ell(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial com condição inicial:
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{d p}{d t}=\alpha p^{\gamma}-\beta p,\\[6pt] p(0)=p_{0}, \end{array}\right.
onde \alpha>0, \beta>0 e o expoente alométrico satisfaz 0<\gamma<1.
O que o problema pede, em 4 itens:
(a) mostrar que a equação é uma equação de Bernoulli e resolvê-la explicitamente (ou seja, encontrar p(t));
(b) encontrar o peso máximo fisiológico p_{\infty}=\lim_{t\to\infty}p(t);
(c) mostrar que a taxa de crescimento \dfrac{dp}{dt} atinge um valor máximo em certo instante t=t^{*} e determinar esse t^{*};
(d) assumindo que a relação alométrica entre comprimento \ell(t) e peso p(t) tem expoente \gamma, determinar explicitamente \ell(t).]

Passo 2

Mostrar que é equação de Bernoulli e reescrever na forma padrão.
A equação dada pode ser escrita como
\frac{dp}{dt}+\beta p=\alpha p^{\gamma}.
Uma equação de Bernoulli tem a forma
\frac{dy}{dt}+a(t)y=b(t)y^{n}.
Comparando, vemos que aqui y=p, a(t)=\beta (constante), b(t)=\alpha (constante) e n=\gamma. Portanto é mesmo uma equação de Bernoulli com expoente n=\gamma.
O método padrão para Bernoulli (quando n\neq0,1) é a substituição
u=p^{1-\gamma},
pois isso transforma a equação não linear numa linear para u. Vou executar essa substituição passo a passo no próximo passo.

Passo 3

Fazer a substituição u=p^{1-\gamma} e obter a EDO linear para u.
Calcule a derivada de u:
\frac{du}{dt}=(1-\gamma)p^{-\gamma}\frac{dp}{dt}.
Isolando \dfrac{dp}{dt} e substituindo na equação original:
\frac{dp}{dt}=p^{\gamma}\frac{1}{1-\gamma}\frac{du}{dt}.
Substituindo em \dfrac{dp}{dt}+\beta p=\alpha p^{\gamma} e dividindo por p^{\gamma} (válido para p>0, caso físico):
\frac{1}{1-\gamma}\frac{du}{dt}+\beta p^{1-\gamma}=\alpha.
Lembrando que p^{1-\gamma}=u, obtemos a equação linear em u:
\frac{du}{dt}+(1-\gamma)\beta\,u=(1-\gamma)\alpha.

Passo 4

Resolver a equação linear para u(t).
A EDO linear é do tipo \dfrac{du}{dt}+k u=c com k=(1-\gamma)\beta e c=(1-\gamma)\alpha.
O fator integrante é e^{kt}=e^{(1-\gamma)\beta t}.
Multiplicando pela fator integrante e integrando:
\frac{d}{dt}\!\Big(e^{kt}u\Big)=c\,e^{kt}.
Integrando em t:
e^{kt}u(t)=\frac{c}{k}e^{kt}+C,
onde C é constante de integração. Substituindo c e k e simplificando \dfrac{c}{k}=\dfrac{(1-\gamma)\alpha}{(1-\gamma)\beta}=\dfrac{\alpha}{\beta}, obtemos
e^{(1-\gamma)\beta t}u(t)=\frac{\alpha}{\beta}e^{(1-\gamma)\beta t}+C.
Isolando u(t):
u(t)=\frac{\alpha}{\beta}+C\,e^{-(1-\gamma)\beta t}.
Usar a condição inicial u(0)=p_{0}^{\,1-\gamma} para determinar C:
p_{0}^{\,1-\gamma}=\frac{\alpha}{\beta}+C\quad\Rightarrow\quad C=p_{0}^{\,1-\gamma}-\frac{\alpha}{\beta}.
Logo
\boxed{\,u(t)=\frac{\alpha}{\beta}+\Bigl(p_{0}^{\,1-\gamma}-\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)e^{-(1-\gamma)\beta t}\,}.

Passo 5

Voltar para p(t) através da retro-substituição p=u^{\frac{1}{1-\gamma}}.
Como u=p^{1-\gamma}, temos
\boxed{\,p(t)=\Biggl[\frac{\alpha}{\beta}+\Bigl(p_{0}^{\,1-\gamma}-\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)e^{-(1-\gamma)\beta t}\Biggr]^{\frac{1}{1-\gamma}}\,}.
Isto resolve o item (a): é a solução explícita da equação de Bernoulli com a condição inicial dada. Essa forma é prática porque o expoente \tfrac{1}{1-\gamma} é positivo (já que 0<\gamma<1).

Passo 6

Determinar o peso máximo fisiológico p_{\infty}=\lim_{t\to\infty}p(t) (item b).
Tomando t\to\infty na expressão de u(t) obtemos
\lim_{t\to\infty}u(t)=\frac{\alpha}{\beta}.
Portanto
\boxed{\,p_{\infty}=\lim_{t\to\infty}p(t)=\Bigl(\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)^{\frac{1}{1-\gamma}}\, }.
Interpretação física: este é o equilíbrio onde anabolismo e catabolismo se balanceiam.

Passo 7

Encontrar o instante t^{*} em que \dfrac{dp}{dt} atinge seu máximo (item c): estratégia.
A taxa \dfrac{dp}{dt} é dada por
\frac{dp}{dt}=\alpha p^{\gamma}-\beta p.
Para que \dfrac{dp}{dt} atinja um máximo em um tempo interno (não na fronteira), precisamos que a segunda derivada satisfaça
\frac{d^{2}p}{dt^{2}}=0
no ponto de máximo, com a condição de que a segunda derivada muda de sinal apropriado. Vamos calcular \dfrac{d^{2}p}{dt^{2}} e achar a condição em termos de p.

Passo 8

Cálculo de \dfrac{d^{2}p}{dt^{2}} e localização do p no qual ocorre o máximo da taxa.
Derivando \dfrac{dp}{dt}=\alpha p^{\gamma}-\beta p em relação a t e usando a regra da cadeia:
\frac{d^{2}p}{dt^{2}}=\alpha\gamma p^{\gamma-1}\frac{dp}{dt}-\beta\frac{dp}{dt}=\frac{dp}{dt}\bigl(\alpha\gamma p^{\gamma-1}-\beta\bigr).
Para um máximo interior (com \dfrac{dp}{dt}\neq0) temos a condição
\alpha\gamma p^{\gamma-1}-\beta=0.
Resolvendo para p:
p^{\gamma-1}=\frac{\beta}{\alpha\gamma} \quad\Rightarrow\quad p^{1-\gamma}=\frac{\alpha\gamma}{\beta}.
Logo o peso no qual a taxa é máxima vale
\boxed{\,p^{*}= \Bigl(\frac{\alpha\gamma}{\beta}\Bigr)^{\frac{1}{1-\gamma}}\, }.
Esse p^{*} é menor que p_{\infty} porque \gamma<1.

Passo 9

Determinar o instante t^{*} usando a expressão de u(t)=p^{1-\gamma}.
Como u(t)=p^{1-\gamma}, basta resolver
u(t^{*})=\frac{\alpha\gamma}{\beta}.
Usando a expressão de u(t) encontrada:
\frac{\alpha}{\beta}+\Bigl(p_{0}^{\,1-\gamma}-\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)e^{-(1-\gamma)\beta t^{*}}=\frac{\alpha\gamma}{\beta}.
Isolando o termo exponencial e simplificando obtemos
\Bigl(\frac{\alpha}{\beta}-p_{0}^{\,1-\gamma}\Bigr)e^{-(1-\gamma)\beta t^{*}}=\frac{\alpha(1-\gamma)}{\beta}.
Portanto
e^{-(1-\gamma)\beta t^{*}}=\frac{\alpha(1-\gamma)}{\alpha-\beta p_{0}^{\,1-\gamma}}.
Tomando logaritmo:
\boxed{\,t^{*}=\frac{1}{(1-\gamma)\beta}\ln\!\Biggl(\frac{\alpha-\beta p_{0}^{\,1-\gamma}}{\alpha(1-\gamma)}\Biggr)\, }.
Observações sobre existência e sinal de t^{*}:
  • Se p_{0}^{\,1-\gamma}<\dfrac{\alpha\gamma}{\beta} (isto é, se p_{0}<p^{*}), então t^{*}>0 e a taxa de crescimento realmente atinge um máximo interno no instante dado acima.
  • Se p_{0}^{\,1-\gamma}=\dfrac{\alpha\gamma}{\beta} então o máximo ocorre em t^{*}=0.
  • Se p_{0}^{\,1-\gamma}>\dfrac{\alpha\gamma}{\beta} então a função \dfrac{dp}{dt} já começa decrescente e o máximo ocorre em t=0.
  • Se p_{0}^{\,1-\gamma}>\dfrac{\alpha}{\beta} então \dfrac{dp}{dt}<0 desde o início (peso inicial acima do valor de equilíbrio), não há crescimento inicial.

Passo 10

Determinar \ell(t) a partir da relação alométrica entre comprimento e peso (item d).
O enunciado pede para assumir que o expoente alométrico que relaciona o comprimento \ell(t) e o peso p(t) é \gamma. Isso significa, na forma mais direta, que existe constante K>0 tal que
\ell(t)=K\,p(t)^{\gamma}.
Usando a condição inicial \ell(0)=\ell_{0} e p(0)=p_{0} encontra-se
K=\frac{\ell_{0}}{p_{0}^{\,\gamma}}.
Substituindo p(t) da solução do item (a) obtemos a expressão explícita:
\boxed{\,\ell(t)=\ell_{0}\Biggl[\frac{\dfrac{\alpha}{\beta}+\Bigl(p_{0}^{\,1-\gamma}-\dfrac{\alpha}{\beta}\Bigr)e^{-(1-\gamma)\beta t}}{p_{0}^{\,1-\gamma}}\Biggr]^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}\, }.
Uma forma equivalente, talvez mais direta, é
\ell(t)=\frac{\ell_{0}}{p_{0}^{\,\gamma}}\Biggl[\frac{\alpha}{\beta}+\Bigl(p_{0}^{\,1-\gamma}-\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)e^{-(1-\gamma)\beta t}\Biggr]^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}.

Resposta

(a) \displaystyle p(t)=\Biggl[\frac{\alpha}{\beta}+\Bigl(p_{0}^{\,1-\gamma}-\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)e^{-(1-\gamma)\beta t}\Biggr]^{\frac{1}{1-\gamma}}
(b) \displaystyle p_{\infty}=\Bigl(\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)^{\frac{1}{1-\gamma}}
(c) \displaystyle p^{*}=\Bigl(\frac{\alpha\gamma}{\beta}\Bigr)^{\frac{1}{1-\gamma}} \
\displaystyle t^{*}=\frac{1}{(1-\gamma)\beta}\ln\!\Biggl(\frac{\alpha-\beta p_{0}^{\,1-\gamma}}{\alpha(1-\gamma)}\Biggr) (valido quando p_{0}^{\,1-\gamma}<\dfrac{\alpha\gamma}{\beta}; caso contrário o máximo de \dfrac{dp}{dt} ocorre em t=0)
(d) \displaystyle \ell(t)=\frac{\ell_{0}}{p_{0}^{\,\gamma}}\Biggl[\frac{\alpha}{\beta}+\Bigl(p_{0}^{\,1-\gamma}-\frac{\alpha}{\beta}\Bigr)e^{-(1-\gamma)\beta t}\Biggr]^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}

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