Considere duas culturas bacterianas distintas:
- Cultura A: cresce exponencialmente, obedecendo a
.
- Cultura B: cresce logisticamente, com
.
Ambas começam com 100 indivíduos.
(a) Encontre as funções
e
.
(b) Determine qual população alcança 20,000 indivíduos primeiro.
(c) Interprete biologicamente a diferença observada entre os dois modelos.
(a) Encontre as funções
(b) Determine qual população alcança 20,000 indivíduos primeiro.
(c) Interprete biologicamente a diferença observada entre os dois modelos.
Passo 1
O enunciado dá duas populações com condições iniciais iguais e pede três coisas. Dados e perguntas (peguei tudo do enunciado):
- Cultura A: cresce segundo
- Cultura B: cresce segundo
. - Condição inicial comum:
para ambas.
As perguntas:
(a) Encontrar as funçõese .
(b) Determinar qual população alcançaindivíduos primeiro (e os tempos).
(c) Interpretar biologicamente a diferença observada entre os modelos.
Passo 2
Resolver a equação diferencial da Cultura A (exponencial). Método: separação de variáveis e integração passo a passo.
A equação é
. Escrevendo
e separando:
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
com
. Usando a condição inicial
:
Logo a solução para a Cultura A é
Explicação rápida do que foi usado: separar variáveis significa colocar todos os termos em
do lado de
e termos em
do lado de
. A integral de
é
, daí a forma exponencial da solução.
Passo 3
Resolver a equação diferencial da Cultura B (logística). Aqui a equação é
É a equação logística padrão com taxa intrínseca
e capacidade de suporte
. Vou resolver por separação usando frações parciais.
Reescrevo a razão:
Separo variáveis:
É útil multiplicar por
para facilitar frações parciais:
Fazer frações parciais: procurar
tais que
Multiplicando por
obtém-se
. Tomando
dá
. Tomando
dá
. Assim
Integrando:
Lembrar que
. Portanto
Isto é
Exponenciando:
Isolando
:
Determinar
com
:
Mais conveniente usar a forma
com
. Aqui
. Portanto
Breve comentário didático: a solução logística tem a forma
. O parâmetro
é fixado pela condição inicial e determina onde na curva sigmoide a população começa.
Passo 4
Calcular quando a Cultura A atinge
. Resolver
Isolando:
Calculemos numericamente
. Usando
. Assim
Arredondando razoavelmente,
Passo 5
Calcular quando a Cultura B atinge
. Resolver
Multiplicando ambos os lados:
Logo
Tomando logaritmo:
Calculemos numericamente
. Então
(veja que
é negativo). Assim
Arredondando,
Passo 6
Comparação e conclusão para a parte (b).
Encontramos
e
. Como
, a Cultura A (modelo exponencial) alcança
indivíduos primeiro.
Comentário numérico rápido sobre taxas iniciais: no instante inicial
temos
e
. Ou seja, as taxas iniciais são quase iguais, mas a taxa logística decresce ao crescer
enquanto a exponencial continua acelerando sem limite.
Passo 7
Interpretação biológica (parte (c)), explicando o significado dos modelos de forma didática e com exemplos simples.
-
Modelo exponencial
descreve crescimento sem qualquer limitação: cada indivíduo contribui para um aumento proporcional da população e recursos são considerados ilimitados. O resultado é crescimento cada vez mais rápido (curva exponencial). Biologicamente, essa hipótese é plausível apenas por curtos períodos quando a população é muito pequena comparada aos recursos disponíveis. -
Modelo logístico
introduz a ideia de capacidade de suporte : quando é pequeno, o fator está próximo de e o crescimento é quase exponencial; conforme aumenta, diminui e o crescimento desacelera até zerar quando . Biologicamente isso representa efeitos de limitação de recursos (alimento, espaço, toxinas acumuladas, competição), fazendo a curva ficar sigmoidal e aproximar-se de . -
No problema concreto, ambas começam iguais e crescem quase à mesma taxa inicialmente, mas a logística freia o crescimento antes que a exponencial, por isso a exponencial passa a frente e atinge
mais cedo. Se o tempo fosse muito longo, a exponencial ultrapassaria qualquer limite (modelo biologicamente irrealista), enquanto a logística se estabilizaria em torno de .
Motivação prática: em ecologia e microbiologia costuma-se usar modelo exponencial apenas para fases iniciais (lag ou early exponential), e o logístico quando se quer incorporar limitação ambiental e prever saturação.
Resposta
(a)
e
(b) Cultura A atinge
primeiro:
,
(unidades de tempo do enunciado)
(c) O modelo exponencial supõe crescimento ilimitado (recursos infinitos) e cresce mais rápido; o modelo logístico incorpora uma capacidade de suporte
que reduz a taxa de crescimento à medida que
aumenta, levando a desaceleração e estabilização (crescimento sigmoidal).