Considere duas culturas bacterianas distintas:
  • Cultura A: cresce exponencialmente, obedecendo a P^{\prime}=0,6 P.
  • Cultura B: cresce logisticamente, com P^{\prime}=0,6 P\left(1-\frac{P}{50000}\right).
Ambas começam com 100 indivíduos.
(a) Encontre as funções P_{A}(t) e P_{B}(t).
(b) Determine qual população alcança 20,000 indivíduos primeiro.
(c) Interprete biologicamente a diferença observada entre os dois modelos.

Passo 1

O enunciado dá duas populações com condições iniciais iguais e pede três coisas. Dados e perguntas (peguei tudo do enunciado):
  • Cultura A: cresce segundo \,P' = 0,6\,P\,.
  • Cultura B: cresce segundo \,P' = 0,6\,P\!\left(1-\dfrac{P}{50000}\right)\,.
  • Condição inicial comum: P(0)=100 para ambas.
    As perguntas:
    (a) Encontrar as funções P_{A}(t) e P_{B}(t).
    (b) Determinar qual população alcança 20{,}000 indivíduos primeiro (e os tempos).
    (c) Interpretar biologicamente a diferença observada entre os modelos.

Passo 2

Resolver a equação diferencial da Cultura A (exponencial). Método: separação de variáveis e integração passo a passo.
A equação é \displaystyle P' = 0,6\,P. Escrevendo P'=\dfrac{dP}{dt} e separando:
\frac{dP}{P}=0,6\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{dP}{P}=\int 0,6\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|P|=0,6t+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
P(t)=C_1 e^{0,6t},
com C_1=e^C. Usando a condição inicial P(0)=100:
100=C_1 e^{0}\quad\Rightarrow\quad C_1=100.
Logo a solução para a Cultura A é
P_A(t)=100\,e^{0,6t}.
Explicação rápida do que foi usado: separar variáveis significa colocar todos os termos em P do lado de dP e termos em t do lado de dt. A integral de 1/P é \ln|P|, daí a forma exponencial da solução.

Passo 3

Resolver a equação diferencial da Cultura B (logística). Aqui a equação é
P' = 0,6\,P\!\left(1-\frac{P}{50000}\right).
É a equação logística padrão com taxa intrínseca r=0,6 e capacidade de suporte K=50000. Vou resolver por separação usando frações parciais.
Reescrevo a razão:
\frac{dP}{dt} = 0,6\,P\left(1-\frac{P}{K}\right),\quad K=50000.
Separo variáveis:
\frac{dP}{P(1-P/K)}=0,6\,dt.
É útil multiplicar por K/K para facilitar frações parciais:
\frac{K\,dP}{P(K-P)}=0,6\,dt.
Fazer frações parciais: procurar A,B tais que
\frac{K}{P(K-P)}=\frac{A}{P}+\frac{B}{K-P}.
Multiplicando por P(K-P) obtém-se K=A(K-P)+BP. Tomando P=0 A=1. Tomando P=K B=1. Assim
\frac{K}{P(K-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}.
Integrando:
\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)dP=\int 0,6\,dt.
Lembrar que \displaystyle\int\frac{1}{K-P}dP=-\ln|K-P|. Portanto
\ln|P|-\ln|K-P| = 0,6t + C.
Isto é
\ln\!\left(\frac{P}{K-P}\right)=0,6t+C.
Exponenciando:
\frac{P}{K-P}=C_1 e^{0,6t}.
Isolando P:
P(t)=\frac{K\,C_1 e^{0,6t}}{1+C_1 e^{0,6t}}=\frac{K}{1+C_1^{-1} e^{-0,6t}}.
Determinar C_1 com P(0)=100:
\frac{100}{K-100}=C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=\frac{100}{50000-100}=\frac{100}{49900}=\frac{1}{499}.
Mais conveniente usar a forma P(t)=\dfrac{K}{1+A e^{-0,6t}} com A=\dfrac{K-P_0}{P_0}. Aqui A=\dfrac{50000-100}{100}=499. Portanto
P_B(t)=\frac{50000}{1+499\,e^{-0,6t}}.
Breve comentário didático: a solução logística tem a forma P(t)=\dfrac{K}{1+A e^{-rt}}. O parâmetro A é fixado pela condição inicial e determina onde na curva sigmoide a população começa.

Passo 4

Calcular quando a Cultura A atinge 20{,}000. Resolver
100\,e^{0,6t}=20000.
Isolando:
e^{0,6t}=200 \quad\Rightarrow\quad 0,6t=\ln 200 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln 200}{0,6}.
Calculemos numericamente \ln 200. Usando \ln 200=\ln(2\cdot100)=\ln 2+\ln 100\approx 0,693147+4,605170=5,298317. Assim
t_A=\frac{5,298317}{0,6}\approx 8,830528.
Arredondando razoavelmente,
t_A\approx 8,83.

Passo 5

Calcular quando a Cultura B atinge 20{,}000. Resolver
\frac{50000}{1+499\,e^{-0,6t}}=20000.
Multiplicando ambos os lados:
1+499\,e^{-0,6t}=\frac{50000}{20000}=2{,}5.
Logo
499\,e^{-0,6t}=1{,}5 \quad\Rightarrow\quad e^{-0,6t}=\frac{1{,}5}{499}.
Tomando logaritmo:
-0,6t=\ln\!\left(\frac{1{,}5}{499}\right)\quad\Rightarrow\quad t=-\frac{1}{0,6}\ln\!\left(\frac{1{,}5}{499}\right).
Calculemos numericamente \dfrac{1{,}5}{499}\approx 0{,}003006012. Então
\ln\!\left(0{,}003006012\right)\approx -5{,}807141
(veja que \ln 0{,}003006 é negativo). Assim
t_B\approx -\frac{-5{,}807141}{0,6}\approx \frac{5{,}807141}{0,6}\approx 9{,}678568.
Arredondando,
t_B\approx 9,68.

Passo 6

Comparação e conclusão para a parte (b).
Encontramos t_A\approx 8{,}83 e t_B\approx 9{,}68. Como 8{,}83<9{,}68, a Cultura A (modelo exponencial) alcança 20{,}000 indivíduos primeiro.
Comentário numérico rápido sobre taxas iniciais: no instante inicial t=0 temos P'_A(0)=0,6\cdot100=60 e P'_B(0)=0,6\cdot100\left(1-\dfrac{100}{50000}\right)=60\cdot0{,}998=59{,}88. Ou seja, as taxas iniciais são quase iguais, mas a taxa logística decresce ao crescer P enquanto a exponencial continua acelerando sem limite.

Passo 7

Interpretação biológica (parte (c)), explicando o significado dos modelos de forma didática e com exemplos simples.
  • Modelo exponencial \,P' = 0,6P descreve crescimento sem qualquer limitação: cada indivíduo contribui para um aumento proporcional da população e recursos são considerados ilimitados. O resultado é crescimento cada vez mais rápido (curva exponencial). Biologicamente, essa hipótese é plausível apenas por curtos períodos quando a população é muito pequena comparada aos recursos disponíveis.
  • Modelo logístico \,P' = 0,6P\!\left(1-\dfrac{P}{50000}\right) introduz a ideia de capacidade de suporte K=50000: quando P é pequeno, o fator 1-P/K está próximo de 1 e o crescimento é quase exponencial; conforme P aumenta, 1-P/K diminui e o crescimento desacelera até zerar quando P\to K. Biologicamente isso representa efeitos de limitação de recursos (alimento, espaço, toxinas acumuladas, competição), fazendo a curva ficar sigmoidal e aproximar-se de K.
  • No problema concreto, ambas começam iguais e crescem quase à mesma taxa inicialmente, mas a logística freia o crescimento antes que a exponencial, por isso a exponencial passa a frente e atinge 20{,}000 mais cedo. Se o tempo fosse muito longo, a exponencial ultrapassaria qualquer limite (modelo biologicamente irrealista), enquanto a logística se estabilizaria em torno de 50{,}000.
Motivação prática: em ecologia e microbiologia costuma-se usar modelo exponencial apenas para fases iniciais (lag ou early exponential), e o logístico quando se quer incorporar limitação ambiental e prever saturação.

Resposta

(a) P_A(t)=100\,e^{0,6t} \quad e \quad P_B(t)=\dfrac{50000}{1+499\,e^{-0,6t}}
(b) Cultura A atinge 20{,}000 primeiro: t_A\approx 8{,}83, t_B\approx 9{,}68 (unidades de tempo do enunciado)
(c) O modelo exponencial supõe crescimento ilimitado (recursos infinitos) e cresce mais rápido; o modelo logístico incorpora uma capacidade de suporte K=50000 que reduz a taxa de crescimento à medida que P aumenta, levando a desaceleração e estabilização (crescimento sigmoidal).

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