Exercícios propostos.
No espaço vetorial
consideremos os seguintes subespaços:
. Determinar uma base e a dimensão de cada subespaço:
No espaço vetorial
Passo 1
O enunciado dá três subespaços de
e pede que determinemos base e dimensão de cada um dos seguintes subespaços:
Informações fornecidas:
-
. -
. -
O que se pede explicitamente:
- Para cada um dos subespaços acima, indicar uma base e a dimensão.
Passo 2
Determinar
.
Explicação didática: a condição
significa que qualquer vetor em
tem a forma
. Podemos parametrizar pelos escalares
e
. Escrevendo em forma de combinação linear:
As duas direções
e
geram
. Verificação de independência: nenhum múltiplo escalar de
é igual a
, logo são linearmente independentes. Portanto formam uma base de
e a dimensão é o número de vetores da base, isto é 2.
Passo 3
Determinar
.
Explicação didática: a equação
dá
. Um vetor genérico em
tem forma
. Parametrizando por
e
:
Assim
. Verificação de independência:
não é múltiplo de
, logo os dois são linearmente independentes. Portanto uma base é
e
.
Passo 4
Determinar
.
Explicação didática:
já foi dado como o span de dois vetores:
e
. Verificamos independência: um vetor não é múltiplo do outro (o primeiro tem componente
, o segundo tem
), portanto são linearmente independentes. Logo
é uma base de
e
.
Passo 5
Determinar
.
Explicação didática e resolução passo a passo: um vetor
pertence simultaneamente a
e
se satisfaz ambas condições:
Substituindo
e
, obtemos vetores da forma
. Logo
Isto é um subespaço unidimensional, então
.
Passo 6
Determinar
.
Explicação didática: para a soma usamos a fórmula de dimensão
Substituindo os valores já obtidos:
. Então
Como
tem dimensão 3, segue que
. Uma base conveniente para
é a base padrão:
. Uma forma prática de obter essa base é pegar
(que pertence a
) e os dois vetores geradores de
,
e
; esses três vetores são linearmente independentes e geram
.
Passo 7
Determinar
.
Explicação didática e resolução passo a passo: um vetor em
tem forma
. Para que esse vetor esteja também em
deve satisfazer
, ou seja
, que dá
Substituindo
em
obtemos
Portanto
Isto é um subespaço de dimensão 1, logo
.
Passo 8
Determinar
.
Explicação didática: aplicando a fórmula da dimensão:
Então
. Uma base construída a partir das geradoras pode ser, por exemplo,
(os dois vetores de
mais um gerador de
). Podemos verificar rapidamente que esses três vetores são linearmente independentes: suponha
; olhando às coordenadas obtemos o sistema
que força
.
Passo 9
Determinar
.
Explicação didática e resolução passo a passo: um vetor em
é
. Para estar em
precisa ter
, logo
. Substituindo
obtemos
. Assim
É um subespaço de dimensão 1, então
. (Observação: também poderíamos usar
como gerador, já que
e escalações são permitidas em subespaços.)
Passo 10
Determinar
.
Explicação didática: pela fórmula da dimensão:
Logo
. Uma base prática é, por exemplo,
: aqui
vem de
e os outros dois de
; checando, esses três vetores são linearmente independentes e geram
.