Exercícios propostos.
No espaço vetorial \mathrm{R}^{3} consideremos os seguintes subespaços:
\mathrm{U}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) / \mathrm{x}=0\}, \mathrm{V}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) / \mathrm{y}-2 \mathrm{z}=0\} \mathrm{e} \mathrm{W}=[(1,1,0),(0,0,2)]. Determinar uma base e a dimensão de cada subespaço: \mathrm{U}, \mathrm{V}, \mathrm{W}, \mathrm{U}+\mathrm{V}, \mathrm{V}+\mathrm{W}, \mathrm{U}+\mathrm{W}, \mathrm{W} \cap \mathrm{U}, \mathrm{W} \cap \mathrm{VeV} \cap \mathrm{U}

Passo 1

O enunciado dá três subespaços de \mathbb{R}^3 e pede que determinemos base e dimensão de cada um dos seguintes subespaços:
\;U,\;V,\;W,\;U+V,\;V+W,\;U+W,\;W\cap U,\;W\cap V,\;V\cap U.
Informações fornecidas:
  • \;U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=0\}.
  • \;V=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y-2z=0\}.
  • \;W=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,2)\}.
O que se pede explicitamente:
  • Para cada um dos subespaços acima, indicar uma base e a dimensão.

Passo 2

Determinar \;U.
Explicação didática: a condição \;x=0 significa que qualquer vetor em U tem a forma (0,y,z). Podemos parametrizar pelos escalares y e z. Escrevendo em forma de combinação linear:
(0,y,z)=y(0,1,0)+z(0,0,1).
As duas direções (0,1,0) e (0,0,1) geram U. Verificação de independência: nenhum múltiplo escalar de (0,1,0) é igual a (0,0,1), logo são linearmente independentes. Portanto formam uma base de U e a dimensão é o número de vetores da base, isto é 2.

Passo 3

Determinar \;V.
Explicação didática: a equação \;y-2z=0 y=2z. Um vetor genérico em V tem forma (x,2z,z). Parametrizando por x e z:
(x,2z,z)=x(1,0,0)+z(0,2,1).
Assim V=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,2,1)\}. Verificação de independência: (1,0,0) não é múltiplo de (0,2,1), logo os dois são linearmente independentes. Portanto uma base é \{(1,0,0),(0,2,1)\} e \dim V=2.

Passo 4

Determinar \;W.
Explicação didática: W já foi dado como o span de dois vetores: (1,1,0) e (0,0,2). Verificamos independência: um vetor não é múltiplo do outro (o primeiro tem componente z=0, o segundo tem z\neq0), portanto são linearmente independentes. Logo \{(1,1,0),(0,0,2)\} é uma base de W e \dim W=2.

Passo 5

Determinar U\cap V.
Explicação didática e resolução passo a passo: um vetor (x,y,z) pertence simultaneamente a U e V se satisfaz ambas condições:
x=0,\qquad y-2z=0.
Substituindo x=0 e y=2z, obtemos vetores da forma (0,2z,z)=z(0,2,1). Logo
U\cap V=\operatorname{span}\{(0,2,1)\}.
Isto é um subespaço unidimensional, então \dim(U\cap V)=1.

Passo 6

Determinar U+V.
Explicação didática: para a soma usamos a fórmula de dimensão
\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V).
Substituindo os valores já obtidos: \dim U=2,\;\dim V=2,\;\dim(U\cap V)=1. Então
\dim(U+V)=2+2-1=3.
Como \mathbb{R}^3 tem dimensão 3, segue que U+V=\mathbb{R}^3. Uma base conveniente para U+V é a base padrão: \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}. Uma forma prática de obter essa base é pegar (1,0,0) (que pertence a V) e os dois vetores geradores de U, (0,1,0) e (0,0,1); esses três vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3.

Passo 7

Determinar V\cap W.
Explicação didática e resolução passo a passo: um vetor em W tem forma a(1,1,0)+b(0,0,2)=(a,a,2b). Para que esse vetor esteja também em V deve satisfazer y-2z=0, ou seja a-2(2b)=0, que dá
a-4b=0\quad\Longrightarrow\quad a=4b.
Substituindo a=4b em (a,a,2b) obtemos
(4b,4b,2b)=b(4,4,2)=b\cdot 2(2,2,1).
Portanto
V\cap W=\operatorname{span}\{(2,2,1)\}.
Isto é um subespaço de dimensão 1, logo \dim(V\cap W)=1.

Passo 8

Determinar V+W.
Explicação didática: aplicando a fórmula da dimensão:
\dim(V+W)=\dim V+\dim W-\dim(V\cap W)=2+2-1=3.
Então V+W=\mathbb{R}^3. Uma base construída a partir das geradoras pode ser, por exemplo, \{(1,0,0),(0,2,1),(1,1,0)\} (os dois vetores de V mais um gerador de W). Podemos verificar rapidamente que esses três vetores são linearmente independentes: suponha \alpha(1,0,0)+\beta(0,2,1)+\gamma(1,1,0)=0; olhando às coordenadas obtemos o sistema \alpha+\gamma=0,\;2\beta+\gamma=0,\;\beta=0 que força \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 9

Determinar W\cap U.
Explicação didática e resolução passo a passo: um vetor em W é (a,a,2b). Para estar em U precisa ter x=0, logo a=0. Substituindo a=0 obtemos (0,0,2b)=b(0,0,2). Assim
W\cap U=\operatorname{span}\{(0,0,2)\}.
É um subespaço de dimensão 1, então \dim(W\cap U)=1. (Observação: também poderíamos usar (0,0,1) como gerador, já que (0,0,1)=\tfrac12(0,0,2) e escalações são permitidas em subespaços.)

Passo 10

Determinar U+W.
Explicação didática: pela fórmula da dimensão:
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)=2+2-1=3.
Logo U+W=\mathbb{R}^3. Uma base prática é, por exemplo, \{(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)\}: aqui (1,1,0) vem de W e os outros dois de U; checando, esses três vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^3.

Resposta

U:\\ \text{base } \{(0,1,0),(0,0,1)\},\\ \dim U=2
V:\\ \text{base } \{(1,0,0),(0,2,1)\},\\ \dim V=2
W:\\ \text{base } \{(1,1,0),(0,0,2)\},\\ \dim W=2
U+V:\\ \text{base } \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\},\\ \dim(U+V)=3
V+W:\\ \text{base } \{(1,0,0),(0,2,1),(1,1,0)\},\\ \dim(V+W)=3
U+W:\\ \text{base } \{(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)\},\\ \dim(U+W)=3
W\cap U:\\ \text{base } \{(0,0,2)\},\\ \dim(W\cap U)=1
W\cap V:\\ \text{base } \{(2,2,1)\},\\ \dim(W\cap V)=1
V\cap U:\\ \text{base } \{(0,2,1)\},\\ \dim(V\cap U)=1

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