Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}x+y \\\ x+z\end{array}\right]. Indique:
T(v)]_{D}\) onde \(v=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]\).

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
Dados:
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T\!\left(\left[\begin{array}{c}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{c}x+y\\[4pt]x+z\end{array}\right],
e
v=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{array}\right].
Pergunta:
Indique \,[T(v)]_{D}, ou seja, o vetor de coordenadas de T(v) na base D de \mathbb{R}^2.
Observação importante (informação do enunciado): a base D de \mathbb{R}^2 não foi especificada no enunciado fornecido.]

Passo 2

Vamos primeiro calcular T(v) explicitamente, substituindo x=1,\;y=1,\;z=1 na definição de T.
Aplicando a definição:
T\!\left(\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{c}1+1\\[4pt]1+1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\\[4pt]2\end{array}\right].
Então obtemos
T(v)=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]2\end{array}\right].
Explicação curta (didática): aqui T pega a primeira coordenada x e soma com y para formar a primeira componente, e soma x com z para formar a segunda. Como v=(1,1,1)^T, ambas somas dão 2.]

Passo 3

Agora preciso explicar o que significa [T(v)]_{D}\) (porque o enunciado pede isso): dado que \(D\) é uma base de \(\mathbb{R}^2\), digamos \[D=\{d_1,d_2\},\qquad d_1,d_2\in\mathbb{R}^2,
o vetor de coordenadas [T(v)]_{D} é o par \left[\begin{array}{c}a\\[4pt]b\end{array}\right] de escalares tal que
T(v)=a\,d_1+b\,d_2.
Forma matricial dessa relação: se montarmos a matriz P cujas colunas são os vetores da base D,
P=\left[\begin{array}{cc} | & | \\\ d_1 & d_2 \\\ | & | \end{array}\right],
então a equação acima vira
P\left[\begin{array}{c}a\\[4pt]b\end{array}\right]=T(v).
Se P for inversível (o que acontece quando d_1,d_2 realmente formam uma base), então
\left[\begin{array}{c}a\\[4pt]b\end{array}\right]=P^{-1}T(v).
Didática sobre como resolver na prova sem calculadora:
  • Para uma base D dada por vetores d_1=(d_{11},d_{21})^T e d_2=(d_{12},d_{22})^T, o sistema a resolver é \begin{cases} a\,d_{11}+b\,d_{12}=2,\\[4pt] a\,d_{21}+b\,d_{22}=2. \end{cases}Resolva por eliminação (soma/subtração/combinação linear) ou usando a fórmula da inversa de 2\times2\] se preferir. - A inversa de uma matriz \(2\times2 \left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta\\[4pt]\gamma & \delta\end{array}\right](quando \alpha\delta-\beta\gamma\neq 0) é \frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma}\left[\begin{array}{cc}\delta & -\beta\\[4pt]-\gamma & \alpha\end{array}\right].Então multiplica-se essa inversa por T(v) para achar as coordenadas.]

Passo 4

Por que não posso dar um único valor numérico para [T(v)]_{D} assim, direto?
Porque o vetor de coordenadas depende da escolha da base D. Sem saber quais são d_1 e d_2, não existe uma representação única — diferentes bases geram coordenadas diferentes para o mesmo vetor T(v).
Logo, a resposta pedida não é determinada apenas com as informações fornecidas.

Passo 5

Para ficar prático e te dar um exemplo de como fazer na prova, veja dois casos concretos.
Exemplo 1 — base canônica E=\{e_1,e_2\} com e_1=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right], e_2=\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]1\end{array}\right]:
T(v)=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]2\end{array}\right]=2e_1+2e_2,
então
[T(v)]_{E}=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]2\end{array}\right].
Exemplo 2 — outra base D'=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]-1\end{array}\right]\right\}:
resolver
\left[\begin{array}{cc}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\[4pt]b\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\\[4pt]2\end{array}\right].
As equações são a+b=2 e a-b=2. Somando as duas dá 2a=4\Rightarrow a=2. Então b=0. Assim
[T(v)]_{D'}=\left[\begin{array}{c}2\\[4pt]0\end{array}\right].
Esses exemplos mostram claramente que sem saber D não há uma única resposta.]

Resposta

Não é possível determinar [T(v)]_{D} porque a base D de \mathbb{R}^2 não foi fornecida.

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