Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}x+y \\\ x+z\end{array}\right]. Indique:
T(v)]_{D}\) onde \(v=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]\).
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
Explicação curta (didática): aqui T pega a primeira coordenada x e soma com y para formar a primeira componente, e soma x com z para formar a segunda. Como v=(1,1,1)^T, ambas somas dão 2.]
Passo 3
Agora preciso explicar o que significa [T(v)]_{D}\) (porque o enunciado pede isso): dado que \(D\) é uma base de \(\mathbb{R}^2\), digamos
\[D=\{d_1,d_2\},\qquad d_1,d_2\in\mathbb{R}^2,
o vetor de coordenadas [T(v)]_{D} é o par \left[\begin{array}{c}a\\[4pt]b\end{array}\right] de escalares tal que
T(v)=a\,d_1+b\,d_2.
Forma matricial dessa relação: se montarmos a matriz P cujas colunas são os vetores da base D,
Didática sobre como resolver na prova sem calculadora:
Para uma base D dada por vetores d_1=(d_{11},d_{21})^T e d_2=(d_{12},d_{22})^T, o sistema a resolver é\begin{cases} a\,d_{11}+b\,d_{12}=2,\\[4pt] a\,d_{21}+b\,d_{22}=2. \end{cases}Resolva por eliminação (soma/subtração/combinação linear) ou usando a fórmula da inversa de 2\times2\] se preferir.
- A inversa de uma matriz \(2\times2\left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta\\[4pt]\gamma & \delta\end{array}\right](quando \alpha\delta-\beta\gamma\neq 0) é\frac{1}{\alpha\delta-\beta\gamma}\left[\begin{array}{cc}\delta & -\beta\\[4pt]-\gamma & \alpha\end{array}\right].Então multiplica-se essa inversa por T(v) para achar as coordenadas.]
Passo 4
Por que não posso dar um único valor numérico para [T(v)]_{D} assim, direto?
Porque o vetor de coordenadas depende da escolha da base D. Sem saber quais são d_1 e d_2, não existe uma representação única — diferentes bases geram coordenadas diferentes para o mesmo vetor T(v).
Logo, a resposta pedida não é determinada apenas com as informações fornecidas.
Passo 5
Para ficar prático e te dar um exemplo de como fazer na prova, veja dois casos concretos.
Exemplo 1 — base canônica E=\{e_1,e_2\} com e_1=\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right], e_2=\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]1\end{array}\right]:
Exemplo 2 — outra base D'=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]1\end{array}\right],\;\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]-1\end{array}\right]\right\}:
resolver