Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T\left(\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}x+y \\\ x+z\end{array}\right]. Indique:
O enunciado pede para indicar a matriz da transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} relativa à base do domínio C e à base do contradomínio D. Dados fornecidos:\n
O que devemos retornar: a matriz [T]_{D}^{C} (matriz de T cujas colunas são as coordenadas de T das vetores de C em relação a D).]
Passo 2
Conceito e método (passo-a-passo didático):\n
Para obter [T]_{D}^{C}\) procedemos assim: para cada vetor \(c_j\) da base \(C\) calculamos \(T(c_j)\).\n
- Em seguida escrevemos \(T(c_j)\) como combinação linear dos vetores da base \(D\): isto é, procuramos escalares \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \text{(componentes de }T(c_j))\end{bmatrix}.
Os coeficientes \alpha,\beta obtidos são as coordenadas de T(c_j) na base D. Essas coordenadas formam a coluna j da matriz [T]_{D}^{C}.\n
Explicando como resolver o sistema 2×2 (método por substituição): dado
Expressão de T(c_1)=\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix}\) na base \(D\).\n
Procuramos \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]1\end{bmatrix},
Expressão de T(c_2)=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]0\end{bmatrix}\) na base \(D\).\n
Procuramos \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\[4pt]0\end{bmatrix},
Da primeira \alpha=-1-2\beta\]. Substituindo:
\[2(-1-2\beta)+\beta=0 \Rightarrow -2-4\beta+\beta=0 \Rightarrow -3\beta=2 \Rightarrow \beta=-\tfrac{2}{3}.\]
Então \(\alpha=-1-2(-\tfrac{2}{3})=-1+\tfrac{4}{3}=\tfrac{1}{3}. Coordenadas de T(c_2) em D:
Expressão de T(c_3)=\begin{bmatrix}0\\[4pt]2\end{bmatrix}\) na base \(D\).\n
Procuramos \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix}+\beta\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]2\end{bmatrix},
Da primeira \alpha=-2\beta\]. Substituindo:
\[2(-2\beta)+\beta=2 \Rightarrow -4\beta+\beta=2 \Rightarrow -3\beta=2 \Rightarrow \beta=-\tfrac{2}{3}.\]
Então \(\alpha=-2(-\tfrac{2}{3})=\tfrac{4}{3}. Coordenadas de T(c_3) em D:
Agora temos as coordenadas de T(c_1),T(c_2),T(c_3) em relação a D; estas coordenadas formam, respectivamente, as colunas 1, 2 e 3 da matriz [T]_{D}^{C}:\n