Exercícios de Revisão: Produtos de Secante e Tangente - Caso I:
Potência par da secante ou ambas as potências ímpares
integral sec ^6(x)(1+2 tan ^2(x))^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec^6(x)l(1+2tan^2(x)r)^2,dx
O conteúdo é integral de potências de secante e tangente, e temos potência par de sec(x). Vamos usar a substituição
u = tan(x), du = sec^2(x),dx

Passo 2

Escrevemos sec^6(x) como sec^4(x),sec^2(x) e usamos sec^2(x)=1+tan^2(x). Logo
sec^6(x) = l(sec^2(x)r)^2,sec^2(x) = l(1+tan^2(x)r)^2,sec^2(x)

Passo 3

Substituindo em I=integral sec^6(x),(1+2tan^2(x))^2,dx e trocando sec^2(x),dx por du, temos
I = integral l(1+u^2r)^2l(1+2u^2r)^2,du

Passo 4

Expandimos os polinômios:
(1+2u^2)^2 = 1+4u^2+4u^4, (1+u^2)^2 = 1+2u^2+u^4
Multiplicando-os:
(1+u^2)^2(1+2u^2)^2 =1+6u^2+13u^4+12u^6+4u^8
Então
I = integral l(1+6u^2+13u^4+12u^6+4u^8r),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
I = integral 1,du +6integral u^2,du +13integral u^4,du +12integral u^6,du +4integral u^8,du
= u +2u^3 +135u^5 +127u^7 +49u^9 + C

Passo 6

Voltando à variável x com u=tan(x), obtemos a antiderivada
tan(x) ;+;2tan^3(x);+;135tan^5(x);+;127tan^7(x);+;49tan^9(x);+;C

Resposta

tan(x) +2tan^3(x) +135tan^5(x) +127tan^7(x) +49tan^9(x) +C

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