Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o valor da variável x :
101,0011_{2}=x_{10}.

Passo 1

O que o enunciado pede: converter o número binário 101,0011_{2} para a base decimal, ou seja, encontrar x tal que
101,0011_{2}=x_{10}.
Informações dadas: o número está em base 2 (binário), tem parte inteira 101 e parte fracionária 0011. Não há outras ambigüidades.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): em qualquer sistema posicional a posição de cada dígito determina o seu peso. Para a base 2 (binário):
  • as posições à esquerda da vírgula têm pesos 2^{0},2^{1},2^{2},\dots (ou seja, unidades, duplas, quádruplas, …);
  • as posições à direita da vírgula têm pesos 2^{-1},2^{-2},2^{-3},\dots (meias, quartos, oitavos, …).
    Formalmente, se escrevemos um número binário com dígitos a_k\in\{0,1\}, seu valor decimal é
\sum_{k=-m}^{n} a_k\,2^{k},
onde k=0 é a posição das unidades; os a_k são os dígitos (cada a_k vale 0 ou 1); n é o maior expoente na parte inteira e -m o menor expoente na parte fracionária. Aqui vou aplicar isso diretamente ao número dado.

Passo 3

Converter a parte inteira 101_{2}.
Identificamos as posições (da direita para a esquerda):
  • o dígito mais à direita é 1 na posição 2^{0};
  • o dígito do meio é 0 na posição 2^{1};
  • o dígito mais à esquerda é 1 na posição 2^{2}.
Agora calculamos cada contribuição:
1\cdot 2^{2}=1\cdot 4=4,
0\cdot 2^{1}=0\cdot 2=0,
1\cdot 2^{0}=1\cdot 1=1.
Somando as contribuições da parte inteira:
\text{parte inteira} = 4+0+1=5.

Passo 4

Converter a parte fracionária ,0011_{2}.
As posições (da esquerda para a direita após a vírgula) são 2^{-1},2^{-2},2^{-3},2^{-4}. Os dígitos correspondentes são 0,0,1,1. Então as contribuições são:
0\cdot 2^{-1}=0\cdot \tfrac{1}{2}=0,
0\cdot 2^{-2}=0\cdot \tfrac{1}{4}=0,
1\cdot 2^{-3}=1\cdot \tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{8},
1\cdot 2^{-4}=1\cdot \tfrac{1}{16}=\tfrac{1}{16}.
Somando as contribuições da parte fracionária:
\text{parte fracionária}=\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}=\tfrac{2}{16}+\tfrac{1}{16}=\tfrac{3}{16}.á

Passo 5

Transformar a fração \tfrac{3}{16} em decimal (explicação passo a passo):
\tfrac{1}{8}=0,125\quad\text{e}\quad \tfrac{1}{16}=0,0625,
então
\tfrac{3}{16}=\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{16}=0,125+0,0625=0,1875.
(Verificação rápida: 16\times 0,1875=3, então está correto.)

Passo 6

Somar parte inteira e parte fracionária para obter o valor decimal final:
x = \text{parte inteira} + \text{parte fracionária} = 5 + 0,1875 = 5,1875.á

Resposta

x=5,1875_{10}

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