Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o valor da variável
:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu converta o número binário
para a base decimal e determine o valor de
tal que
Informações dadas e observações imediatas:
- O número é uma fração em base 2 (binária), com os dígitos após a vírgula sendo, da esquerda para a direita,
. - Vou usar esses dígitos posicionais para escrever
como soma de potências negativas de .
Passo 2
Entendendo a posição dos dígitos na parte fracionária em base 2 (aulas rápidas e essenciais para a prova):
- Em qualquer sistema posicional, cada dígito depois da vírgula tem peso decrescente. Em base 2, o primeiro dígito à direita da vírgula vale
, o segundo vale , o terceiro vale e assim por diante. - Se a parte fracionária em base 2 for
, onde cada , então o valor decimal é
- Exemplo curtinho para fixar:
e . Isso ajuda a ver como cada posição vale metade da anterior.
Passo 3
Aplicando a definição ao número dado:
- Os dígitos são
, , , , , , , . - Logo
- Como o primeiro termo é zero, isso simplifica para
Passo 4
Somando a série geométrica (a maneira elegante e que economiza tempo na prova):
- A soma dos termos
é uma soma geométrica com razão . - Em geral, para
,
- Reescrevo a soma deslocando o índice:
. - Usando a fórmula com
e ,
- Calculando passo a passo:
-
. -
. -
. - Portanto
-
- Voltando ao fator
,
Passo 5
Verificando a soma por adição direta (chega no mesmo resultado, útil para conferir sem fórmula):
- Soma direta dos termos:
- Colocando denominador comum
:
o que confirma o resultado da soma geométrica.
Passo 6
Converter a fração
para decimal (forma prática para a prova):
- Como
, sabemos que (ou se preferir: ). - Outra observação rápida e útil:
- Como
e , então