Nos exercícios seguintes, converter os números para a base decimal, determinando o valor da variável x :
0,01111111_{2}=x_{10}.

Passo 1

O enunciado pede que eu converta o número binário 0,01111111_2 para a base decimal e determine o valor de x tal que
0,01111111_2 = x_{10}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O número é uma fração em base 2 (binária), com os dígitos após a vírgula sendo, da esquerda para a direita, 0,1,1,1,1,1,1,1.
  • Vou usar esses dígitos posicionais para escrever x como soma de potências negativas de 2.

Passo 2

Entendendo a posição dos dígitos na parte fracionária em base 2 (aulas rápidas e essenciais para a prova):
  • Em qualquer sistema posicional, cada dígito depois da vírgula tem peso decrescente. Em base 2, o primeiro dígito à direita da vírgula vale 2^{-1}, o segundo vale 2^{-2}, o terceiro vale 2^{-3} e assim por diante.
  • Se a parte fracionária em base 2 for 0.b_1 b_2 b_3\ldots b_n, onde cada b_k\in\{0,1\}, então o valor decimal é
0.b_1 b_2 \ldots b_n_2 = \sum_{k=1}^{n} b_k \, 2^{-k}.
  • Exemplo curtinho para fixar: 0,1_2 = 1\cdot 2^{-1} = 2^{-1} = 0,5_{10} e 0,01_2 = 1\cdot 2^{-2} = 2^{-2} = 0,25_{10}. Isso ajuda a ver como cada posição vale metade da anterior.

Passo 3

Aplicando a definição ao número dado:
  • Os dígitos são b_1=0, b_2=1, b_3=1, b_4=1, b_5=1, b_6=1, b_7=1, b_8=1.
  • Logo
x = 0\cdot 2^{-1} + 1\cdot 2^{-2} + 1\cdot 2^{-3} + 1\cdot 2^{-4} + 1\cdot 2^{-5} + 1\cdot 2^{-6} + 1\cdot 2^{-7} + 1\cdot 2^{-8}.
  • Como o primeiro termo é zero, isso simplifica para
x = \sum_{k=2}^{8} 2^{-k}.

Passo 4

Somando a série geométrica (a maneira elegante e que economiza tempo na prova):
  • A soma dos termos 2^{-2}+2^{-3}+\cdots+2^{-8} é uma soma geométrica com razão r=\tfrac{1}{2}.
  • Em geral, para r\neq 1,
\sum_{j=0}^{m-1} r^{j} = \frac{1-r^{m}}{1-r}.
  • Reescrevo a soma deslocando o índice: \displaystyle \sum_{k=2}^{8} 2^{-k} = 2^{-2}\sum_{j=0}^{6} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{j}.
  • Usando a fórmula com r=\tfrac{1}{2} e m=7,
\sum_{j=0}^{6} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{j} = \frac{1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{7}}{1 - \tfrac{1}{2}}.
  • Calculando passo a passo:
    • \left(\tfrac{1}{2}\right)^{7} = \tfrac{1}{128}.
    • 1 - \tfrac{1}{128} = \tfrac{127}{128}.
    • 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
    • Portanto \displaystyle \sum_{j=0}^{6} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{j} = \frac{127/128}{1/2} = \frac{127}{128}\cdot 2 = \frac{127}{64}.
  • Voltando ao fator 2^{-2}=\tfrac{1}{4},
x = 2^{-2}\cdot \frac{127}{64} = \frac{1}{4}\cdot\frac{127}{64} = \frac{127}{256}.

Passo 5

Verificando a soma por adição direta (chega no mesmo resultado, útil para conferir sem fórmula):
  • Soma direta dos termos:
2^{-2}+\cdots+2^{-8} = \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}.
  • Colocando denominador comum 256:
\frac{64+32+16+8+4+2+1}{256} = \frac{127}{256},
o que confirma o resultado da soma geométrica.

Passo 6

Converter a fração \displaystyle \frac{127}{256} para decimal (forma prática para a prova):
  • Como 256 = 2^{8}, sabemos que \tfrac{1}{256} = 2^{-8} = 0,00390625_{10} (ou se preferir: 0,5 - \tfrac{1}{256} = 0,49609375).
  • Outra observação rápida e útil: \displaystyle \frac{127}{256} = \frac{128-1}{256} = \frac{128}{256} - \frac{1}{256} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{256}.
  • Como \tfrac{1}{2} = 0,5 e \tfrac{1}{256} = 0,00390625, então
\frac{127}{256} = 0,5 - 0,00390625 = 0,49609375.

Resposta

\displaystyle x=\frac{127}{256}=0,49609375

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